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能够对二次求根公式的起源和意义有一个更深入的了解。
在现实世界里，很多时候我们都需要解出一个未知变量的值。比如，治疗一个甲状腺肿瘤的时候，放射治疗的放射剂量应该多大为宜？如果想用30年的时间还清一笔数额为200000美元、年利率为5％的住房抵押贷款，那么每个月的还款额应该是多少？火箭的速度至少要达到多少，才可以摆脱地球引力？
随着代数的产生和发展，人类慢慢地摸索出了一些解决上述问题的方法和经验，并且逐步能够应付一些简单的求解未知变量的问题。在古埃及、古巴比伦、古希腊和古印度学者们的引导下，终于在公元800年左右，伊斯兰教国家的数学家们比较系统地拓展了这个领域。这一数学进步的原动力，是为了解决伊斯兰法律下的遗产计算问题。
假设一位寡妇去世的时候一共留下了10迪拉姆的遗产。这笔遗产由她的两个儿子和一个女儿继承。关于遗产分配，伊斯兰法律是这样规定的：两个儿子所继承的遗产份额应该相同，而每个儿子所得的遗产应该是女儿的2倍。现在的问题是：两个儿子和一个女儿分别应该继承多少遗产呢？
第10章 丑陋却万能的二次方程求根公式（2）
我们用未知变量x来代表女儿应该继承的遗产。虽然我们暂时还不知道x的值是多少，但是我们可以像处理普通数字一样处理x这一变量，对它做出各种各样的分析。既然法律规定每个儿子所得的遗产应该是女儿的2倍，那么显然每个儿子应该继承的金额为2x。这样，我们就可以知道，两个儿子和一个女儿总共继承的金额是x＋2x＋2x=5x，三人继承的总金额必须等于这位寡妇的遗产总额，也就是10迪拉姆。由此，我们得到5x=10迪拉姆。最后一步，我们把这个等式的两边都除以5，就可以解出x的值，即x=2迪拉姆。也就是说，女儿得到的遗产是2迪拉姆；因为每个儿子继承的遗产是女儿的2倍，因此每个儿子可以得到2x，即4迪拉姆的遗产。╬米╬花╬书╬库╬ ；http：//www。7mihua。com
注意，在上面的分析过程中，我们一共用到了两种数：一种是已知数，比如2、5、10；另一种是未知数，比如x。只要我们能够找出已知数和未知数之间的关系（这种关系通过方程式5x=10来表示），我们就可以慢慢地“变换”这个方程式，将方程式的两边同时除以5，从而解出未知数x的值。这个过程就好像雕塑家拿着手中的凿子一下一下地雕琢大理石。最终，我们“凿掉”了冗余的部分，“凿出”了我们想要的雕塑。
有时候，解方程式需要一些稍微复杂一点的方法。比如，当方程式中有未知数减去已知数的情况出现时，我们就要引入一种上面没有用到的技巧。例如，假设要解的方程式是x－2=5。为了解出x的值，我们必须想办法用手中的凿子凿掉方程式左侧的数字2。我们可以在方程式的左右两边同时加上2，这样做以后，方程式的左边只剩下一个x，所有的障碍都被清除了；而方程式的右边，则是2＋5=7。于是，我们的任务完成了，显然x的值就是等于7。当然，这个例子是一个非常简单的方程式，相信大部分的读者根本不用多想，看一眼就已经知道结果了。
对于任何一个学过代数的学生来说，上面的移项技巧可能是理所当然、简单明了的。但是大部分人都不知道，这种看似不起眼的技巧正是“代数”这个名词的起源。9世纪初期，巴格达的一位名叫穆罕默德·伊本·穆萨·花剌子模的数学家在一本讲义里首次阐述了移项技巧：当方程式一侧的未知数被减去一个已知数（比如上例中的2）时，可以通过在方程式两侧同时加上这个已知数，来“重组”方程式，帮助找到方程式的解。花剌子模把这种技巧命名为al－jabr，也就是阿拉伯语“重组”的意思。如今我们熟知的“代数”一词（英文为algebra），正是由al－jabr变形而来。在花剌子模死后很久，他的名字又一次被写进了数学史：人们发明了我们今天常用的“算法”一词，这个词（英文为algorithm）的词源正是这位数学家那略显古怪的名字：花剌子模（al－Khwarizmi）。
花剌子模这本讲义的后半部分都在讨论求解方程式的实际应用：如何处理复杂的遗产计算问题。而在这本讲义的前半部分，花剌子模详细地阐述了方程式中包括3种不同种类的数字的情况。在我们前面举的例子中，方程式里只有两种数字：已知数和未知数。而花剌子模研究的这类方程式中有3种数字：已知数、未知数（x）和未知数的平方数（x2）。现在，这种方程式已经有了自己的名字：二次方程式。在这里，我又要说一下词源学，二次方程（英文quadraticequations）的词根为拉丁语quadratus，意为“平方”。这类方程式常常会出现在建筑学、几何学的实际应用问题中，计算地块的面积或是比例关系时都需要求解二次方程式，所以，古巴比伦、古埃及、古希腊、古中国和古印度的数学家们都不约而同地研究过二次方程式的求解方法，并且获得了一定的成功。
第10章 丑陋却万能的二次方程求根公式（3）
在花剌子模的讲义中，他讨论了这样一个二次方程式：
x2＋10x=39
当然，花剌子模并不是这样表述二次方程式的，他使用的是文字而非符号的表述方法。花剌子模的书里是这样写的：什么数的平方加上这个数的10倍等于39？把这个问题“翻译”为今天通行的数学语言，就是我们上面写出的这个二次方程式。
与我们上面举出的两个一次方程式相比，求解这个方程式显然要棘手得多。我们怎么才能把这个方程中的x孤立出来，从而求得它的值呢？上面使用的移项技巧以及方程式两边同时乘以（或除以）一个常数的方法在这里显然不够用，因为顾得了x就顾不了x2，即使你把这两者之中的x孤立出来，另一个必然还会在那里碍手碍脚。比如，我们可以把方程式的两边同时除以10，这样10x就被简化成了x，但是，我们也会随之得到一个非常讨厌的x2/10，方程式还是没有解出来。总的来说，这个问题的难点是，我们需要同时做两件事情，而这两件事情看起来又似乎互不相容。
那么，花剌子模是怎么解决这类问题的呢？他的解法值得我们好好分析一下：一是因为他给出的解法非常简洁明了，二是因为他的解法极为强大—这种解法可以一步到位，解出任何二次方程式的根。也就是说，你可以把上述方程式中的10和39换成其他任何数字，这个方法仍然有效！
这个方法就是：用几何意义来诠释二次方程式中的每一项。首先考虑x2的值，它的几何意义是一个x乘以x的正方形的面积，如下图所示：
类似的，第二项10x的几何意义是一个10乘以x的长方形的面积。花剌子模进一步巧妙地把这个10乘以x的长方形一分为二，表示为两个5乘以x的长方形（这一步的妙处我们在下面自然会看到，这是“配方法”的基础）。
下面，我们把两个长方形和先前的正方形拼到一起，形成一个有缺口的形状，这个图形的面积就是x2＋10x。
现在，花剌子模把求解方程式的问题几何化了，问题就变成：如果上述形状的面积为39个单位，那么x应该是多少呢？
上面这幅图已经给出了十分清楚的提示，既然这个形状缺了一角，为什么我们不把它补全呢？补出这个小正方形之后，我们就得到了一个完美的大正方形。这说明什么呢？仔细看看下图。
补足的这个小正方形的面积是5×5=25，也就是说，左图大正方形的面积是x2＋10x＋25，因为这个图形现在是边长为（x＋5）的一个正方形。
第10章 丑陋却万能的二次方程求根公式（4）
通过这几步简单的处理，原来互相冲突的x2和10x，如今却携起了手，变成了一个简洁且容易处理的（x＋5）2。这种“配方法”使得求根问题变得十分简单。
别忘了，在刚才的处理过程中，我们在方程式x2＋10x=39的左边加上了25（即补足的小正方形的面积），为了让方程式仍然成立，显然在方程式的右边也应该加上25。因为39＋25=64，处理过后的方程式就变成：
这真是太简单了，只要方程式两边同时开平方，我们就得到了x＋5=8，随后可以轻松地解出x=3。
很显然，x=3正是方程x2＋10x=39的解。3的平方是9，10×3=30，9＋30正好等于39。简单的代入验算明确无误地告诉我们，我们的解是完全正确的。┅米┅花┅书┅库┅ ；www。7mihua。com
x=3是花剌子模给出的这个方程式的解。细心的读者可能已经发现，如果花剌子模参加现代的代数考试，那么这道题他只能得到一半的分数。花剌子模漏掉了方程的另一个解，也就是x=–13。我们可以把x=–13代入上述方程式，–13的平方数为169，–13的10倍为–130，169加上–130正好是39，显然–13也是这个方程式的解。在花剌子模的算法里，这个负数解被忽略了，从几何意义上来说，边长为–13的正方形并不存在，这可以说是古代代数的局限性。如今，代数已经不再那么依赖于几何，所以二次方程式的正数解和负数解都得到了认可。
在花剌子模之后的几个世纪中，数学家们逐渐认识到，只要接受负数解和负数的平方根（这个概念之前的章节中已有讨论），任何二次方程式都可以用上述的“配方法”求解。
对任意一个二次方程式ax2＋bx＋c=0（其中a、b、c为任意已知数，x为未知数）来说，求根公式可以表示为：
x=（…b±√（b^2…4ac））/2a
经过本章的旅程，你是否对这个看似不太美观的公式有所改观了呢？它是多么直接和全面！不管方程式中的a、b、c是一些什么数字，方程式的解都可以用这个公式表示，一步到位，一目了然！a、b、c这3个数字是千变万化的，然而竟然有一个这样完美的公式，能够以不变应万变，举重若轻地把二次方程式的求根问题彻底解决。
如今，二次方程式仍是解决各类实际问题的不可或缺的工具。通过这个工具，科学家和工程师们能够分析无线电的收发、桥梁和摩天大楼的震动、篮球和炮弹的运动轨迹、动物种群数量的波动等。如果没有二次方程式，很多现实世界里的问题将会让我们一筹莫展。
从这个角度来看，二次求根公式虽然其貌不扬，却实在是一笔伟大的数学遗产和一个辉煌的数学传奇。
第11章 函数：你能把一张纸对折8次以上吗？（1）
如果你是一个狂热的20世纪80年代电视剧的爱好者（暴露年龄了），你一定熟悉一部名为《蓝色月光侦探社》的电视剧。这部电视剧的主演是布鲁斯·威利斯（饰演戴维·艾迪森）和斯碧尔·谢波德（饰演麦迪·海耶斯）。在这部电视剧中，男女主角是两个爱说俏皮话的私家侦探。此剧因为幽默机智的对话和男女主角的配合默契而深受观众喜爱。
在其中一个案件的侦破过程中，男主角戴维问验尸官的助手：“你觉得最有可能犯案的嫌疑犯是谁？”验尸官的助手回答说：“这可真是问倒我了。你知道，有一件事我一直很不理解……”戴维打趣道：“一直很不理解？莫非你说的是对数？”这时候，女主角麦迪瞪了戴维一眼，可是戴维理直气壮地抢白道：“怎么？莫非你敢说你懂得对数？”︴米︴花︴书︴库︴ ；__
这个有点儿毫无逻辑的对话，生动地说明了很大一部分美国人对于对数的看法。首先，“对数”这个名字听起来既抽象又艰深，让人心生恐惧。很多人从走出高中校门以后就再也没有使用过对数（至少没有有意识地使用过对数）。虽然对数其实会默默地出现在我们日常生活的很多地方，但人们还是选择忽略它、无视它，把对数的知识毫无保留地还给中学数学老师。
其实，不光是对数，中学代数二阶课程和微积分预备课程里教的很多其他函数也同样有着被遗忘的命运，比如幂函数或者指数函数。很多人对这些数学知识的感想就是：天啊，那是一些什么鬼玩意儿？我为什么要学习这些东西啊？在这一章节里，我的目标就是带你认识和了解这些“鬼玩意儿”，体会它们的美好和精妙之处。就算你从没有使用过计算器上的指数按钮、对数按钮、幂函数按钮，对它们多些了解也毫无坏处。
数学家们需要函数，就像建筑工人需要锤子和钻头一样。锤子和钻头能把原材料变成我们想要的东西，函数也有着这样的功能。数学家们常常把运用函数的过程称为“转化”的过程，这正是在强调函数这方面的功能。但是，锤子和钻头所处理的原材料是木材、钢铁，而函数处理的原材料却是数字、图形，或者另一个函数。
为了解释清楚这个概念，让我们先把方程y=4－x2的图像画出来看看。还记得数学课上学过的画函数图像的步骤吗？首先，我们要画出一个坐标轴，水平的是x轴，竖直的是y轴。然后，我们选取一些x值，并对于每一个x值，计算出相应的y值。每一组对应的x值和y值可以表示为xy平面上的一个点。比如说，当x取1的时候，y=4－x2=4－1=3。所以，这组x和y的值所对应的点就是（1，3），我们可以把这个点画到xy平面上去。多取几个不同的x值，重复上面的步骤，我们就得到了下图。
第11章 函数：你能把一张纸对折8次以上吗？（2）
为什么这个函数的图像会呈弓形呢？因为有一把看不见的数学“镊子”正在悄悄地使劲。在这个关于y的方程中，x被“转化”成了x2，这种转化的工具就像日常生活中我们使用的镊子一样，能够对被转化物施加拉力，使被转化物弯曲。本来，我们的原材料可以看作x轴上的一小段线段，它是完全水平的，经过这个方程的转化，这一小段原材料的每一个点都受到了拉力的作用，就像被镊子夹起来一样，原材料被弯曲拉长了，形成了我们在上图中看到的弓形。
上面我们谈到的是方程中x2的部分，那么，y=4－x2中的这个常数4又起到了什么作用呢？同样用五金工具进行类比，这个常数4就好像把一幅画挂在墙上的那枚钉子一样。这枚钉子将拉开的弓形向上提起，固定在y轴上4的位置上。就像钉子不会改变弓的形状一样，常数4也不会改变函数的形状，它只是把这个图形的所有点都向上提高了4个单位而已，我们给这类“工具”起了一个统一的名字，叫作“常数函数”。
上面的这个例子很好地诠释了函数的双重作用。一方面，函数和五金工具一样，是一种可以转化原材料的工具，x2能把x轴的一段拉伸变弯，而4则能把整个图形向上提。另一方面，函数又相当于工具所处理的原材料，4和–x2都是函数的零部件，它们共同组合成了一个更复杂的函数4–x2，就好像电线、电池、晶体管等零部件可以组成一台收音机一样。
当你了解了函数的双重作用，你就会发现生活中处处都有函数。上面的这个弓形或者说拱门形的东西，它的学名叫作“抛物线”。抛物线是平方函数的学名，生活中处处都能见到抛物线，也就意味着平方函数常常在我们周围出没。不管是喷泉形成的水柱，还是篮球运动的轨迹，都有二次函数的身影。如果你什么时候去美国的底特律国际机场转机，别忘了留几分钟时间逛逛达美航空的候机楼，那里的喷泉组是世界上最壮观的抛物线表演之一。
从抛物线和常数出发，我们可以推广得到一类更为广阔的函数：幂函数。幂函数的形式为xn。在幂函数中，未知数x被连乘n次，n是一个给定的已知数。比如，
对于抛物线函数来说，n=2；而对于常数函数来说，n=0。
只要改变n的值，我们就能得到一系列非常方便好用的数学工具。比如，一次函数（n=1）是一个斜坡，它可以很好地描述速率稳定的增长或是衰减的过程。一次函数又叫作线性函数，因为在xy平面上，一次函数的图像是一条直线。如果外面在下着一场速度均匀的雨，你把一个铁桶放在室外，那么桶内的积水量和时间的关系就是一种线性关系，这种关系可以用一次函数来表示。
另一个非常有用的工具是平方反比例函数；也就是n=－2所得到的幂函数。平方反比例函数可以很好地描述波或者力在三维空间中传播时的衰减情况。比如，要研究一个声音如何随着传播距离的变化而越变越轻，就要用到平方反比例函数。
在各行各业中，科学家们和工程师们都会大量运用幂函数，它们能够非常好地表达和描述相对平缓的增长或者衰减的过程。
第11章 函数：你能把一张纸对折8次以上吗？（3）
如果我们想要着手处理一些更刺激、更惊险的东西，就需要拿出我们的另一组利器：指数函数。指数函数能够很好地描述爆炸性增长，比如核能源或核武器的链式反应，以及培养皿中细菌的高速繁殖。通常，大家最为熟悉的指数函数是以10为底数的指数函数10x，也就是10的x次方。注意指数函数和之前我们讨论过的幂函数的区别：在指数函数中，我们的指数（x）是一个未知数，而底数（10）则是一个常数；而在幂函数（如x2）中，情况