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成这系统的断定命题。
这些函子属于命题逻辑，命题逻辑是这系统的辅助理论。
在某些证明中，我们会遇见第三个命题函子，即命题的否定“这不是真的……”
，简化地用“非”表示。
这四个亚里士多德式的常项：“所有——是”
“没有——是”
，“有些——是”
，和“有些——不是”
，与三个命题常项：“如果——则”
，“并且”
，与“非”加在一起，就是三段论系统仅有的元素。
这个系统的所有断定命题，对于在其中出现的变项的所有的值而言，都是真的。
没有一个亚里士多德式三段论是作为带“所以”一词的推论规则而构成的，如像传统逻辑那样。
传统逻辑是一个不同于亚里士多德三段论系统的系统，而不应当与真正的亚里士多德逻辑搅混在一起。
亚里士多德划分三段论为三个格，但是他知道并承认第四格的所有三段论的式。
三段论划分为格没有什么逻辑上的重要性，而仅有一个实践的目的：我们要确信没有漏掉一个正确的三段论的式。
这系统是公理化的。
亚里士多德取第一格的头两个式，Ｂａｒｂａｒａ与Ｃｅｌａｒｅｎｔ，作为公理。
在这两条公理之外，我们还应当加上两条换位定律，因为它们都不能用三段论加以证明。
如果我们希望这个系统中有同一律：“所有Ａ是Ａ”
，我们就应假定它们是公理。
我们能够得到的最简单的基础，是取常项“所有——是”和“有些——是”为原始词项，凭着它们用命题否定来定义其它两个常项，并设定四条断定命题为公理，即两条同一律和Ｂａｒｂａｒａ式与Ｄａｔｉｓｉ式，或者Ｂａｒｂａｒａ式与ＤｉCｍａｒｉｓ式。
把这个系统建立在仅仅一条公理之上是不可能的，如果“原则”指的是与“公理”相同的东西的话，那么，寻
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２１。一些未解决的问题A ７０１
求亚里士多德的三段论的原则就是一种徒劳的企图。
“所谓全和零原则”
，在这个意义上，也不能是三段论的原则，并且亚里士多德本人也没有那样陈述它。
亚里士多德将所谓不完全的三段论化归为完全的，即化归为公理。
这里，化归指的是从公理出发对一个定理的证明或推导。
他使用三种证明：换位法，归谬法和显示法。
逻辑的分析表明：在头两类的所有证明中，包含着命题逻辑最基础部分的断定命题，即演绎理论。
亚里士多德直观地使用它们，但在他之后不久，命题逻辑的第一个系统的创始者——斯多亚派明白地陈述了它们之中的某一些断定命题，——复杂的易位律、和所谓“综合定理”
（后者曾被人归功于亚里士多德的发现，但它并不见于他现存的逻辑著作中）。
一个新的逻辑因素好像蕴藏在显示法证明之中；这些证明可借存在量词之助而得到解释。
存在量词系统地引入三段论理论，将完全改变这个系统：原始词项“有些——是”能由词项“所有——是”来定义，而许多为亚里士多德所不知道的新的断定命题将会出现。
由于亚里士多德本人在其三段论理论的最后提要中抛弃了显示法证明，这就没有必要把它引入他的系统了。
另一个新的逻辑因素包含在亚里士多德关于不能成立的三段论形式的研究中，那就是排斥。
亚里士多德通过具体词项的例证来排斥不正确的形式。
这个处理在逻辑上是对的，但它把与之没有密切联系的词项和命题引进了这个系统。
然而还有这样的情况，他运用另一种逻辑处理：把一个不正确的形式化为另一个已经排斥了的形式。
在这个提示的基础上，可以陈述一条与断定的分离规则相应的排斥规则。
这可看作是逻
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８０１第三章 亚里士多德三段论系统
辑研究的新领域的开端和应当解决的新问题。
亚里士多德并没有系统地研究所谓复合三段论（ｐｏｌｙｓｙｌ－ｌｏｇｉｓｍｓ）
，即带有三个以上词项和两个以上前提的三段论。
如我们已经看到的，加仑研究了包含四个词项和三个前提的复合三段论。
把第四格的作者看作是加仑是一个古老的逻辑错误。
加仑把四个词项的复合三段论划分为四个格，而不是划分我们熟知其中世纪名称的那些简单的三段论。
他的研究完全被遗忘了。
但复合三段论也属于三段论的理论并且应当加以考虑，在这里是另外一个应当加以系统地研究的问题。
对这个问题的重要的贡献是Ｃ。
Ａ。
麦雷狄士先生提出的那一组公式，这在前面第１４节的末尾处已经提到过了。
还剩下一个未曾为亚里士多德看到，但却是他的整个系统的最重要的问题：这就是判定问题。
有意义的三段论的表达式的数目是无穷的；它们的绝大多数确实是假的，但它们之中有一些可以是真的，如ｎ个词项的有效的复合三段论（无论ｎ是任何正整数）。
我们能够相信，我们的公理与推论规则一起，对于证明所有真的三段论表达式是足够的吗？
并且，同样地，我们能够相信在第２０节之末构造的排斥规则，对于排斥所有假的表达式是足够的吗（即使我们从公理上排斥了它们之中有限的数量）？
我于１９３８年在华沙大学我的数理逻辑讨论班上提出了这些问题。
一个我从前的学生，现任佛罗克拉夫（ｗｒｏｃｌａｗ）大学逻辑与方法论教授Ｊ斯卢派斯基找到了这两W个问题的解答。
他对第一个问题的回答是肯定的，而对于第二个问题的回答是否定的。
据斯卢派斯基说，要用第２０节所引用的规则（ｃ）和（ｄ）去排斥所有假的三段论的表达式，是不可
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２１。一些未解决的问题A ９０１
能的，即令这些表达式中的一个有限数目已经公理地排斥了。
无论怎样多的假表达式我们可以公理地排斥，除了公理地已排斥者外，总还会有不能加以排斥的其它的假表达式。
而要建立一个无穷的公理集合是不可能的：一条新的排斥规则必须加进这个系统以补足由四条公理所作出的亚里士多德逻辑的不充分的刻画。
这条规则是斯卢派斯基发现的。
斯卢派斯基专为亚里士多德的三段论所发现的排斥规则，可以陈述如下：令α与β表示亚里士多德逻辑的否定前提，亦即“没有Ａ是Ｂ”或“有些Ａ不是Ｂ”这种类型的前提，并令γ表示简单前提（任何类型的）
，或者后件为简单前提、前件为简单前提的合取的一个蕴涵式：如果表达式“如果α，则γ”与“如果β，则γ”都已被排斥，则表达式“如果α并且β，则γ”也必被排斥。
①这条规则与排斥规则（ｃ）和（ｄ）
，以及用公理方法排斥了的表达式“如果所有Ｃ是Ｂ并且所有Ａ是Ｂ，则有些Ａ是Ｃ”一起，可以使我们排斥这个系统中的任何假的表达式。
此外，如我们已提出的那样，假定三段论的四条断定的公理，Ｅ和Ｏ前提的定义，断定的表达式的推论规则，以及演绎理论作为辅助系统。
用这种办法，判定问题获得了解决：对于这个系统作出的任何有意义的表达式，我们可以决定它是否为真并可断定，或者它是否为假并须排
①Ｊ斯卢派斯基：《关于亚里士多德三段论理论的研究》（ＺｂａｄａｎDａｄｓｙｌｏW Cｇｉｓｔｙｋａｒｙｓｔｏｔｅｌｅｓａ）
，“佛罗克拉夫科学与文学学会会刊”
，Ｂ类，第９期，佛罗克拉夫１９４８年出版。
见讨论判定问题的第五章。
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０１１第三章 亚里士多德三段论系统
斥。
关于亚里士多德三段论理论的主要研究，由于这问题的解决而宣告终结。
还剩下的唯一的一个问题，或者甚至是一个等待解释的神秘之点就是：为了排斥这个系统的所有假的表达式，那么用公理方法排斥唯一一个假的表达式，亦即第二格的全称肯定前提与特称肯定结论的三段论形式，就是必要与充分的。
没有适合于这个目的的其它表达式。
这个奇怪的逻辑事实的解释也许可以导致逻辑领域内的若干新的发现。
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第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
２。符号系统的说明A这一章并不属于逻辑史。
它的目的是根据现代形式逻辑的要求，但与亚里士多德本人所陈述的观念密切联系，构造一个非模态三段论的系统。
现代形式逻辑是严格地形式化的。
为了得到一个精确的形式化理论，使用一套为此目的而发明的符号系统，比起使用有着自己的语法规律的普通语言要方便得多。
所以，我必须从这样一套符号系统的说明开始。
由于亚里士多德的三段论系统包括着命题逻辑的最基本部分（即演绎理论）
，我将同时说明这两个理论系统的符号表示法。
在这两个理论系统中，都有变项和常项出现。
变项由小写拉丁字母表示，常项由大写拉丁字母表示。
我用起首的字母ａ，ｂ，ｃ，ｄ，…，表示亚里士多德逻辑的词项变项（ｔｅｒｍｖａｒｉCａｂｌｅｓ）。
这些词项变项以普遍词项作为它的值，如“人”或“动物”。
我用大写字母Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ表示亚里士多德逻辑的常项（中世纪的逻辑学家已经在这个意义上使用这些符号）。
借助于这两类字母，我构成亚里士多德逻辑的四个函项，书写时把常项置于变项之前：
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２１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
Ａａｂ表示 所有ａ是ｂ或ｂ属于所有ａ，Ｅａｂ表示 没有ａ是ｂ或ｂ属于无一ａ，Ｉａｂ表示 有些ａ是ｂ或ｂ属于有些ａ，Ｏａｂ表示 有些ａ不是ｂ或ｂ不属于有些ａ。
常项Ａ，Ｅ，Ｉ，Ｏ都叫函子，ａ和ｂ叫做它们的变元（ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）。
所有亚里士多德的三段论都是由彼此相联系的这四种函项借助于“如果”和“并且”等词而组成。
“如果”
、“并且”
等词也表示函子，但它是与亚里士多德逻辑常项不同的另一类：它们的变元不是词项表达词（ｔｅｒｍ－ｅｘｐｒｅｓｉｏｎ）
，即具体词项或词项变项，而是命题表达式（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
ｅｘCｐｒｅｓｉｏｎ）
，即是像“所有人都是动物”那样的命题，像“Ａａｂ”那样的命题函项或命题变项。
我用ｐ，ｑ，ｒ，ｓ，…，表示命题变项，用Ｃ表示函子“如果”
，用Ｋ表示函子“并且”。
表达式Ｃｐｑ即是“如果ｐ，则ｑ”的意思（“则”可以省去）
，并且叫做以ｐ为前件，ｑ为后件的“蕴涵式”。
Ｃ并不属于前件，它仅仅把前后件联系起来。
表达式Ｋｐｑ即是“ｐ并且ｑ”
的意思，并称为“合取式”。
在有些证明中我们还会遇到命题逻辑的第三个函子，即命题的否定。
它是一个变元的函子，用Ｎ表示。
要把函项Ｎｐ翻译为英语或任何其它现代语言都是困难的，因为没有与命题否定相当的单个的字眼①。
我们只得用一种绕弯子的方式说“ｐ不是真的”
（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｒｕｅ－ｔｈａｔ
ｐ）或“不是ｐ那种情况”
（ｉｔ－ｉｓ－ｎｏｔ－ｔｈｅ－ｃａｓｅ－ｔｈａｔ
ｐ）。
为了简便起见，我采用表达式“非ｐ”
（ｎｏｔ－ｐ）。
①D斯多亚派用一个词‘ι（即“非”
，“不”。
——译者注）
表示命题的否定。
J F L
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２。符号系统的说明A ３１
我的表示法的原则是将函子写在变元之前，用这种办法，我能够不用括弧。
我发明的、并从１９２９年起在我的逻辑论文中使用的这一套不用括弧的符号①，可用于数学，同样也可用于逻辑。
加法的结合律在原来的表示法中是这样写的：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
，而且不能不用括弧来陈述。
然而如果你把函子＋写在它的变元之前，你得到：
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝＋＋ａｂｃ以及ａ＋（ｂ＋ｃ）＝＋ａ＋ｂｃ。
结合律现在就可以不用括号而写出了：＋＋ａｂｃ＝＋ａ＋ｂｃ。
现在，我要解释一下有些用这种符号表示法写出的表达式。
一个三段论的符号表达式是易于了解的。
以Ｂａｒｂａｒａ式为例：如果所有ｂ是ｃ并且所有ａ是ｂ，则所有ａ是ｃ。
用符号写成：ＣＫＡｂｃ
Ａａｂ
Ａａｃ前提Ａｂｃ和Ａａｂ的合取式，即ＫＡｂｃ
Ａａｂ，是公式的前件，结论Ａａｃ是它的后件。
有些演绎理论的表达式是很复杂的。
如假言三段论如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）则（如果ｐ，则ｒ）
］的符号表达式写成：
①例如，见卢卡西维茨与塔斯基：“关于命题演算的研究”
，《华沙科学与文学学会会刊》，ｘｉ卷（１９３０年）
，第Ⅲ类，第３１—３２页。
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４１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
Ｃｐｑ
Ｃｑｒ
Ｃｐｒ。
为了了解这个公式的结构，你们必须记住：Ｃ是直接在Ｃ之后的两个命题变元的函子。
这两个命题变元与Ｃ一起构成一个新的复杂命题表达式。
公式中的表达式Ｃｐｑ，Ｃｑｒ与Ｃｐｒ即属于这一类。
在它们每一个的周围画上括弧，就得到表达式：Ｃ（Ｃｐｑ）Ｃ（Ｃｑｒ）
（Ｃｐｒ）。
现在你们能够容易地看到Ｃ（Ｃｐｑ）是整个公式的前件，而其余的，即Ｃ（Ｃｑｒ）（Ｃｐｒ）是后件。
这个后件本身又是以（Ｃｑｒ）为前件和Ｃ（ｐｒ）为后件的。
以同样的方式我们可以分析所有其它表达式，如除了Ｃ之外还包含Ｎ和Ｋ的下面的例子：ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐ。
记住Ｋ与Ｃ一样也是两个变元的函子，而Ｎ是一个变元的函子。
使用不同种类的括弧我们得到表达式：Ｃ［Ｃ（Ｋｐｑ）
ｒ］｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］（Ｎｐ）
｝。
［Ｃ（Ｋｐｑ）
ｒ］在这里是整个公式的前件，而｛Ｃ［Ｋ（Ｎｒ）
ｑ］（Ｎｐ）
｝是后件，这个后件又有合取式［Ｋ（Ｎｒ）ｑ］为自己的前件以及否定式（Ｎｐ）为自己的后件。
２３。演绎理论A所有其它逻辑系统都建立于其上的那个最基本的逻辑系统乃是演绎理论。
因此每一个逻辑学家都应当知道这个系统，我在这里将对它作一简单描述。
根据什么函子被选择作为原始词项，演绎理论可以用几种不同方式加以公理化。
最简单的一种是按照弗莱格的方式。
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２３。演绎理论A ５１
他采用蕴涵与否定这两个函子作为原始词项，这在我们的符号系统中就是Ｃ和Ｎ。
这个Ｃ－Ｎ系统有很多组公理；其中最简单和几乎普遍赞许的一组，是我自己在１９２９年以前所发明的①。
它包含三条公理：Ｔ１。
ＣｐｑＣｑｒＣｐｒＴ２。
ＣＮｐＴ３。
ＣｐＣＮｐｑ。
第一条公理是已经在前面一节中解释过的假言三段论定律。
第二条公理，在文字上读作：“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ“
，欧几里德曾用于一条数学定理的证明②。
我把它叫做克拉维乌斯定律，因为克拉维乌斯（一位博学的耶稣会士，生活于十六世纪后半期，西方新历——格列高里历法的创造人之一）
在注释欧几里德时首先注意到这个定律。
第三条公理在文字上就是“如果ｐ，那么如果非ｐ，则ｑ”
，就我所知，它第一次出现在据说是邓斯司各脱的关于亚里士多德的注释中；我W称之为邓斯司各脱定律③。
这条定律遏制着通常加之于矛盾W的诽谤：如果两个矛盾的语句，如α与Ｎα，同真，我们能够用这个定律从它们引出任意的命题ｑ，亦即无论任何命题。
属于这个系统的有两条推论规则：代入规则和分离规则。
代入规则允许我们从这系统里已断定的命题中，用一个
①第一次发表于用波兰文写的“论数理逻辑的重要性与必要性”
《波兰科学》（Ｎａｕｋａ
ｐｏｌｓｋａ）卷Ⅹ，华沙（１９２９年）第６１０—６１２页。
又参见本书第９８页注②所引用德文写的论文：命题６，第３５页。
②见前，第６７页。
③参看第６４页注所引用的我的论文。
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６１１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
同样的有意义的表达式替换其中每一个相同的变项，从而导出一个新的断定命题。
有意义的表达式用以下方式归纳地定义为：（ａ）任何命题变