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它们的最后的词项。
这个变项是由变形Ⅰ引入的。
我们能够用以下的演绎等值的变形消去它，其中π是一个不在α或β中出现的命题变项：Ⅷ。
ＣαＣβπ～ＣαＮβ对于Ｓ１７与Ｓ１８而言，Ⅸ。
ＣαＣＮβπ～Ｃαβ对于Ｓ１９与Ｓ２０而言。
对于变形Ⅷ的断定命题：Ｓ１７。
ＣｐＣｑＮｑＣｐＮｑＳ１８。
ＣｐＮｑＣｐＣｑｒ。
对于变形Ⅸ的断定命题：Ｓ１９。
ＣｐＣＮｑＣｐｑ
…… 181
３。三段论系统的初等表达式A ９６１
Ｓ２０。
ＣｐｑＣｐＣＮｑｒ。
当ＣαＣβπ被断定了，用Ｎβ替代π我们从它得到表达式ＣαＣβＮβ，并随后再用Ｓ１７得到ＣαＮβ；并且，反过来，用Ｓ１８从ＣαＮβ得到表达式ＣαＣβπ。
当ＣαＣβπ被排斥时，由Ｓ１８我们得到ＣＣαＮβＣαＣβπ，所以ＣαＮβ必须被排斥；并且反过来，当ＣαＮβ被排斥时，由Ｓ１７我们得到ＣＣαＣβＮβＣαＮβ，所以ＣαＣβＮβ必须被排斥，从而ＣαＣβπ也必须被排斥。
变形Ⅸ能用同样的方式加以解释。
这一点我们可以直接地应用于我们的例子。
以Ａａｂ代α，Ｉａｂ代β，以及ｐ代π；你得到ＣＡａｂ
Ｉａｂ。
用同样方式，从ＣＡｂａ
ＣＮＩａｂｐ得出ＣＡｂａＩａｂ。
如果我们有多于两个前件的表达式，例如，有几个前件，我们必须重复地应用变形Ⅶ，首先把ｎ—１个前件化为一个前件，然后再应用变形Ⅷ和Ⅸ。
例如，举以下例子：ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ，ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ由Ⅷ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ；ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ。
定理（ＴＡ）
现在充分地被证明了。
所以我们能够进行到我们的主要项目：亚里士多德三段论系统的判定的证明。
…… 182
０７１第五章 判定问题
３。三段论系统的初等表达式A根据定理（ＴＡ）
，亚里士多德三段论系统的表达式都能够用演绎地等值的方式化归为一组初等表达式，亦即具有
Ｃα１Ｃα２Ｃα３Ｃαｎ１ＣαｎC形式的表达式，其中所有的α都是三段论系统的简单表达式，亦即Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ或ＮＩａｂ，以及Ｏａｂ或ＮＡａｂ等类型的表达式。
现在，我将表明三段论系统的每一个初等表达式都是可判定的，也就是说或者被断定，或者被排斥。
我将首先证明所有简单表达式（除Ａａａ及Ｉａａ型的表达式外）都是被排斥的。
我们已经看到（第２７节，公式P６１）
Ｉａｃ是被排斥的。
这里是其它表达式的排斥的证明：P６１×P１０。
ｃｂ＇ P１０。
Ｉａｂ８×ＣP１０１－P１００（８，ＣＡａｂＩａｂ）
P１０１。
ＡａｂＩＶ。
ｐＡａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１０２＇ ＇（ＩＶ。
ＣｐＣＮｐｑ）
１０２。
ＣＮＡａⅠａｂ１０２×ＣP１０３—P１０P１０３。
ＮＡａａ（＝Ｏａ）
P１０３×P１０４。
ｂａ＇ P１０４。
ＮＡａｂ（＝Ｏａｂ）
ＩＶ。
ｐＩａ，ｑＩａｂ×Ｃ２—１０５＇１０５。
ＣＮＩａＩａｂ
…… 183
３。三段论系统的初等表达式A １７１
１０５×ＣP１０６—P１０P１０６。
ＮＩａａ（＝Ｅａ）
P１０６×P１０７ｂａ＇ P１０７ＮＩａｂ（＝Ｅａｂ）
现在转向复杂的初等表达式，我将相继地研究所有可能的情况，而省去可能的形式证明，而仅提出它们如何能得以证明的提示。
有六种情况应当加以研究。
第一种情况：后件αｎ是否定的，而所有各前件都是肯定的。
这样的表达式都是被排斥的。
证明：把在这个表达式中出现的所有变项都等同于ａ，作为同一律Ａａｕ或Ｉａ，所有前件都成为真的，而后件成为假的。
我们看出，对于这个情况的解决说来，同一律乃是根本的。
第二种情况：后件是否定的，并且只有一个前件是否定的。
这个情况可以化归为只具有肯定元素的情况，并且这样的情况，如我们随后将看到的，总是可判定的。
证明：ＣαＣＮβＮγ形式的表达式都演绎地等值于ＣαＣγβ形式的表达式（对于断定命题ＣＣｐＣＮｒＮｑＣｐＣｑｒ与ＣＣｐＣｑｒCＣｐＣＮｒＮｑ而言）
，这不仅对于一个肯定的前件α是真的，而且对于任何数量的肯定的前件都是真的。
第三种情况：后件是否定的，并且一个以上的前件是否定的。
这类表达式能化归为简单表达式，以至最终化归为第二种情况。
这个情况的解需要斯卢派斯基排斥规则。
证明：让我们假定原表达式是ＣＮαＣＮβＣγ…
Ｎｐ形式的。
因为任一前件都可以移至无论那一个位置，这个假定总是可以作出的。
我们把这个表达式相应地省去其第二个或第一个
…… 184
２７１第五章 判定问题
前件，化归为两个比较简单一些的表达式ＣＮαＣγ…
Ｎｐ与ＣＮβＣγ…
Ｎｐ。
如果这些表达式有一个以上的否定前件，我们就重复这种处理，一直到我们得出只带有唯一的否定前件的公式为止。
因为根据第二种情况，这样的公式都是演绎地等值于可判定的肯定的各表达式的，所以它们总是或者被断定或者被排斥。
只要它们之中的一个被断定了，那末原表达式也必须被断定，因为用简化定律我们可以把先前加以省略的所有其它否定前件加于这个断定的公式之上。
然而如果所有具有一个否定前件的公式都被排斥了，那么我们重复运用斯卢派斯基排斥规则，从它们得出原表达式必须被排斥。
举两个例子就可以透彻地说明问题。
第一个例子：ＣＮＡａｂＣＮＡｂｃＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ是一个断定命题。
我们把这个表达式化归为（１）与（２）
（１）ＣＮＡａｂＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ，（２）ＣＮＡｂｃＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ。
用同样方式，我们把（１）化归为（３）和（４）
：（３）ＣＮＡａｂＣＩｂｃＮＡｃｄ，（４）ＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ。
并且把（２）化归为（５）和（６）
：（５）ＣＮＡｂｃＣＩｂｃＮＡｃｄ，（６）ＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ。
现在最后一个表达式是一个断定命题；它是第三格的Ｆｅｒｉｓｏｎ式。
在ＣｐＣｑｐ中，以（６）代ｐ，并以ＮＡｂｃ代ｑ，我们得到（２）
，再一次应用ＣｐＣｑｐ，以（２）代ｐ，并以ＮＡａｂ代ｑ，我们就达到了原命题。
第二个例子：ＣＮＡａｂＣＮＡｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄC
…… 185
３。三段论系统的初等表达式A ３７１
ＮＡａｄ，并非一个断定命题。
如同前面的例子一样，我们把这个表达式化归为：（１）ＣＮＡａｂＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ，（２）ＣＮＡｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ；然后，我们把（１）化归为（３）和（４）
，并且把（２）化归为（５）和（６）
：（３）ＣＮＡａｂＣＩｂｄＮＡａｄ，（４）ＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ，（５）ＣＮＡｂｃＣＩｂｄＮＡａｄ，（６）ＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。
所有以上带有一个否定前件的公式，都不是断定命题，这可以用把它们化归为只有肯定元素的情况的办法来加以证明。
表达式（３）
，（４）
，（５）和（６）都是被排斥的。
应用斯卢派斯基规则，我们从被排斥的表达式（５）和（６）得到（２）必须被排斥，并且从被排斥的表达式（３）和（４）
，得到（１）必须被排斥。
但是，如果（１）和（２）都被排斥了，那么，原表达式也必须被排斥。
第四种情况：后件是肯定的，而有些（或所有）前件都是否定的。
这个情况可以化归为第三种情况。
证明：ＣαＣＮβγ形式的表达式，在断定命题ＣｐＣＮｑｒＣｐＣＮｑＣＮｒＮＡａａ与ＣＣｐＣＮｑＣＮｒＮＡａＣｐＣＮｑｒ的基础上都演绎地等值于ＣαＣＮβＣＮγＮＡａａ形式的表达式，因为ＮＡａａ总是假的。
带有否定元素的所有情况就这样地穷尽地考察过了。
第五种情况：所有前件都是肯定的，而后件是一个全称
…… 186
４７１第五章 判定问题
肯定命题。
有几种从属情况应当加以区分：（ａ）
后件是Ａａ；这个表达式是断定的，因为它的后件是真的。
（ｂ）
后件是Ａａｂ，而且Ａａｂ也是前件之一。
这个表达式当然是被断定的。
以下都假定Ａａｂ不作为前件出现。
（ｃ）后件是Ａａｂ，但是没有前件是Ａａｆ型的（ｆ不同于ａ，并且，当然也不同于ｂ）。
这样的表达式都是被排斥的。
证明：将不同于ａ与ｂ的所有变项等同于ｂ，我们只能得到以下的前件：
Ａａ，Ａｂａ，Ａｂ，Ｉａ，Ｉａｂ，Ｉｂａ，Ｉｂｂ。
（我们不能得到Ａａｂ，因为没有前件是Ａａｆ型的，其中ｆ不同于ａ。）前提Ａａ，Ａｂ，Ｉａ，Ｉｂｂ可因其是真的而略去。
（如果没有其它前提，这个表达式就被排斥，犹如在第一种情况中一样。）如果除了Ｉａｂ之外还有Ｉｂａ，它们之一可以省略掉，因为它们彼此是等值的。
如果有Ａｂａ，则Ｉａｂ与Ｉｂａ两者都可以略去，因为Ａｂａ蕴涵着它们二者。
在这些化归之后，只有Ａｂａ或Ｉａｂ能够作为前件留下来。
现在可以表明这两个蕴涵式，ＣＡｂａＡａｂ与ＣＩａｂＡａｂ，根据我们的排斥公理都是被排斥的：
Ｘ。
ｐＡｃｂ，ｑＡｂａ，ｒＩａｃ，ＳＡａｂ×Ｃ２７—１０８＇１０８。
ＣＡａｂＡｂａＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ（Ｘ。
ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒ；
１０８×ＣP１０９—P５９２７。
ＣＫＡｃｂＡｂａＩａｃ）
…… 187
３。三段论系统的初等表达式A ５７１
P１０９。
ＣＡａｂＡｂａP１０９×P１１０。
ｂａａｂ＇ P１０
ＣＡｂａＡａｂ。
如果ＣＡｂａＡａｂ被排斥，则ＣＩａｂＡａｂ必定也被排斥，因为Ｉａｂ是比Ａｂａ更弱的前提。
（ｄ）后件是Ａａｂ并且有Ａａｆ型的前件（其中ｆ不同于ａ）。
如果有一个由ａ导至ｂ的系列，根据公理３（Ｂａｒｂａｒａ式）
这个表达式被断定；如果没有这样的系列，这个表达式就被排斥。
证明：我把一个由ａ导至ｂ的系列了解为一个有序的全称肯定前提的序列：
Ａａｃ１，Ａｃ１ｃ２…，Ａｃｎ１ｃｎ，Ａｃｎｂ，C序列的第一项有ａ作为它的第一个变元。
最后一项有ｂ作为它的第二个变元。
而每一个其它项的第二个变元都与它的后承者的第一个变元相同。
很明显，从这样一个表达式的序列，重复应用Ｂａｒｂａｒａ式就得出Ａａｂ。
所以，如果有一个从ａ导至ｂ的系列，这表达式就被断定；如果没有这样的系列，我们能消去Ａａｆ型的前提（将它们的第二个变元等同于ａ）
，用这种方法这表达式被化归为从属情况（ｃ）
，而它已是被排斥的。
第六种情况：所有前件都是肯定的，而后件是一个特称肯定命题。
这里我们也必须区分几种从属情况。
（ａ）后件是Ｉａ；这表达式是被断定的，因为它的后件是真的。
（ｂ）后件是Ｉａｂ，而出现为前件的或是Ａａｂ，或Ａｂａ，或Ｉａｂ，或Ｉｂａ；很显然，在所有这些情况，这表达式必须被断定。
以下都假定以上四者都不作为前件出现。
…… 188
６７１第五章 判定问题
（ｃ）
后件是Ｉａｂ，而没有前件是Ａｆａ型的（ｆ不同于ａ）
，或者是Ａｇｂ型的（ｇ不同于ｂ）这表达式是被排斥的。
证明：我们把所有不同于ａ，ｂ的变项都等同于ｃ；于是在Ａｃｃ或Ｉｃｃ型的真前提之外，我们只得到以下前件：
Ａａｃ，Ａｂｃ，Ｉａｃ，Ｉｂｃ。
Ａａｃ蕴涵Ｉａｃ，而Ａｂｃ蕴涵Ｉｂｃ。
所以，前提的最强的组合是Ａａｃ与Ａｂｃ。
然而，从这个组合，不会得出Ｉａｂ，因为公式
ＣＡａｃＣＡｂｃＩａｂ等值于我们的排斥公理。
（ｄ）
后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）
的表达式，而没有Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）
的表达式。
如果有Ａｂｅ或Ｉｂｅ（Ｉｅｂ）
，并且有一个从ｅ导至ａ的系列：（α）Ａｂｅ；Ａｅ１，Ａｅ１ｅ２，…，Ａｅｎａ，（β）
Ｉｂｅ；Ａｅ１，Ａｅ１ｅ２，…，Ａｅｎａ我们从（α）
得到Ａｂｅ与Ａｅａ，从而用Ｂｒａｍａｎｔｉｐ式得到Ｉａｂ，而从（β）
得到Ｉｂｅ与Ａｅａ，从而用Ｄｉｍａｒｉｓ式得到Ｉａｂ。
在两种情况中，这表达式都是被断定的。
然而，如果不满足条件（α）
和（β）
，我们能够消去Ａｆａ型的前提（用把它们的第一个变元等同于ａ的办法）
，根据从属情况（ｃ）
，这表达式必须被排斥。
（ｅ）后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）的表达式，而没有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）的表达式。
这个情况能够化归为从属情况（ｄ）
，因为ａ与ｂ就后件Ｉａｂ而言是对称的。
（ｆ）后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）
的表达式与Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）的表达式。
我们可以设想条
…… 189
３。三段论系统的初等表达式A ７７１
件（α）与（β）对于Ａｆａ是没有满足的，或者同样的条件对于Ａｇｂ也是没有满足的；否则，如我们已经知道的，这个原表达式将是被断定的。
现在，如果有Ａｃａ与一个从ｃ导至ｂ的系列：（γ）Ａｃａ；Ａｃ１Ａｃ１ｃ２，…，Ａｃｎｂ，或者Ａｄｂ与一个从ｄ导至ａ的系列：（δ）Ａｄｂ；Ａｄ１，Ａｄ１ｄ２，…，Ａｄｎａ，我们从（γ）得到Ａｃａ与Ａｃｂ，从（δ）得到Ａｄｂ与Ａｄａ。
从而在两种情况下，用Ｄａｒａｐｔｉ式都得出Ｉａｂ。
进一步说，如果有一前件Ｉｃｄ（或Ｉｄｃ）与两个系列，一为从ｃ导至ａ，另一为由ｄ导至ｂ：Ｉｃｄ；Ａｃ（∈）１，Ａｃ１ｃ２，…，ＡｃｎａＩｃｄ；Ａｄ１，Ａｄ１ｄ２，…
Ａｄｎｂ我从第一个系列得出前提Ａｃａ，从第二个系列得出前提Ａｄｂ，而这两个前提与Ｉｃｄ一起，基于复合三段论（ｐｏｌｙｓｙｌｏｇｉｓｍ）
ＣＩｃｄＣＡｃａＣＡｄｂＩａｂ得出结论Ｉａｂ。
我们这样来证明这个复合三段论：从Ｉｃｄ与Ａｃａ用Ｄｉｓａｍｉｓ式推出Ｉａｄ，然后从Ｉａｄ与Ａｄｂ用Ｄａｒｉ出式推出Ｉａｂ。
在所有这些情况下，这个原表达式都必须被断定。
然而，如果条件（γ）
，（δ）或（∈）没有一个是被满足的，我们可以消去Ａｆａ与Ａｇｂ型的表达式（用将它们的第一个变元分别地等同于ａ或ｂ的办法）
，而根据从属情况（ｃ）
，这个原表达式必须被排斥。
现在穷尽了一切可能的情况，并且证明了每一个有意义的亚里士多德三段论系统的表达式，在我们的公理和推论规则的基础上，或者是被断定的，或者是被排斥
…… 190
８７１第五章 判定问题
的。
３４。三段论系统的一个算术的解释A莱布尼兹于１６７９年发现了亚里士多德三段论系统的一个算术的解释。
从历史的以及从系统的观点来说，它应当受到我们的注意。
①它是一个同构的解释（ｉｓｏｍｒｐｈｉｃｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ）。
莱布尼兹并不知道亚里士多德三段论系统可以公理化，而且他也不知道关于排斥及其规则的任何东西。
他为了相信他的