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①它是一个同构的解释（ｉｓｏｍｒｐｈｉｃｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ）。
莱布尼兹并不知道亚里士多德三段论系统可以公理化，而且他也不知道关于排斥及其规则的任何东西。
他为了相信他的解释是不错的，他才检验了某些换位定律与某些三段论的式。
所以，他的解释满足我们的断定的公理１—４、排斥的公理P５９，以及斯卢派斯基规则等等，好像仅仅是一种巧合。
无论如何，在他的研究中他的哲学直观指导着他产生了一个如此圆满的结果，的确是一桩奇事。
莱布尼兹的算术解释是基于三段论系统的变项与自然数彼此互素的有序偶（ｏｒｄｅｒｅｄ
ｐａｉｒｓ
ｏｆ
ｎａｔｕｒａｌ
ｎｕｍｂｅｒｓ
ｐｒｉｍｅ
ｔｏ
ｅａｃｈ
ｏｔｈｅｒ）之间的相关关系（ｃｏｒｅｌａｔｉｏｎ）。
例如，对于变项ａ，对应着两个互素的数，ａ１与ａ２；对于变项ｂ，对应着两个其它的也是互素的数，ｂ与ｂ。
当且仅当ａ１可被ｂ１整除，并且ａ２可被ｂ２整除时，前提Ａａｂ才是真的。
如果这些条件之一没有满足，Ａａｂ就是假的，从而ＮＡａｂ就是真的。
当
①见Ｌ。库杜拉特：《莱布尼兹未刊行的著作和残篇》（ＯｐｕｓｃｕｌｅｓｅｔｆｒａｇCｍｅｎｔｓｉｎéｄｉｔｓｄｅＬｅｉｂｎｉｚ）
，巴黎１９０３年版，第１７页以下。
又参看杨卢卡西维茨W《论亚里士多德的三段论》（Ｏｓｙｌｏｇｉｓｔｙｃｅ
Ａｒｙｓｔｏｔｅｌｅｓａ）
，《克拉科夫科学院院刊》ｘｌｉｖ，第６号（１９３９年）
，第２０页。
…… 191
３４。三段论系统的一个算术的解释A ９７１
且仅当ａ１与ｂ２之间没有公因数，并且ａ与ｂ１之间没有公因数时，前提Ｉａｂ才是真的。
如果这些条件之一没有满足，Ｉａｂ就是假的，从而ＮＩａｂ就是真的。
容易看出：我们的断定的公理１—４都是被确证的。
公理１，Ａａａ是被确证的，因为每一个数可由它自己整除。
公理２，Ｉａ是被确证的，因为已经假定，对应于ａ的两个数，ａ１与ａ２是互素的。
公理３，Ｂａｒｂａｒａ式ＣＫＡｂｃＡａｂＡａｃ也是被确证的，因为可整除的关系是传递的。
公理４，Ｄａｔｉｓｔ式ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ，也是被确证的；因为如果ｂ１可被ｃ１整除，ｂ２可被ｃ２整除，ｂ１与ａ２之间没有公因数，并且ｂ２与ａ１之间没有公因数，那么，ａ１与ｃ２之间必定没有公因数，并且ａ２与ｃ１之间必定没有公因数。
因为，如果ａ１与ｃ２有一个比１大的公因子，ａ１与ｂ２也将有这个相同的公因子，因ｂ２包含ｃ２。
但这是与ａ１与ｂ２之间没有公因数的假定相违背的。
同样，我们证明ａ２与ｃ１之间必定没有公因数。
表明公理P５９ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ必须被排斥，也是容易的。
举以下数字为例：ａ１＝１５，ｂ１＝３，ｃ１＝１２，ａ２＝１４，ｂ２＝７，ｃ２＝３５。
Ａｃｂ是真的，因为ｃ１被ｂ１整除，并且ｃ２可被ｂ２整除；Ａａｂ也是真的，因为ａ１可被ｂ１整除，并且ａ２可被ｂ２整除；但结论Ｉａｃ不是真的，因为ａ１与ｃ２不是互素的。
斯卢派斯基规则的确证较为复杂些。
我将借助实例来说明这个问题。
让我们取排斥的表达式：（P１）ＣＮＡａｂＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ与（P２）ＣＮＩｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。
…… 192
０８１第五章 判定问题
我们用斯卢派斯基规则，
PＣＮαγ，PＣＮβγ→ＣＮαＣＮβγ，从（P１）与（P２）得到第三个排斥的表达式，（P３）ＣＮＡａｂＣＮＩｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。
例如用以下一组数字，表达式（１）就被反驳了：ａ１＝４，ｂ１＝７，ｃ１＝３，ｄ１＝４，（４）ａ２＝９，ｂ２＝５，ｃ２＝８，ｄ２＝３。
能够很容易地证明：根据这个解释Ａａｂ是假的（因为４不能被７整除）
，从而ＮＡａｂ是真的；Ｉｃｄ是假的（因为ｃ２对于ｄ１不是互素的）
，所以ＮＩｃｄ是真的；Ｉｂｄ是真的（因为ｂ１与ｄ２，ｂ２与ｄ１两对数，彼此都是互素的）
；但是ＮＡａｄ是假的，因为Ａａｄ是真的（ａ１可被ｄ１整除，而且ａ２可被ｄ２整除）。
所有前件都是真的，后件是假的；所以表达式（１）被驳倒了。
相同的这样一组数并不反驳表达式（２）
，因为Ｉｂｃ是真的（由于ｂ１与ｃ２，及ｂ２与ｃ１两对数，彼此是互素的）
，从而ＮＩｂｃ是假的。
但如果一个蕴涵式的前件是假的，这个蕴涵式就是真的。
为了反驳表达式（２）
，我们必须取另外一组数：ａ（５）１＝９，ｂ１＝３，ｃ１＝８，ｄ１＝３，ａ２＝２，ｂ２＝２，ｃ２＝５，ｄ２＝２。
根据这个解释，表达式（２）的所有前件都是真的，而后件是假的；所以，这表达式就被反驳了。
但这第二组数并不反驳表达式（１）
，因为Ａａｂ是真的，从而ＮＡａｂ是假的，而一个假前件产生出一个真蕴涵式。
所以，（４）组与（５）组数都不能反驳表达式（３）
，它包括ＮＡａｂ以及ＮＩｂｃ。
…… 193
３４。三段论系统的一个算术的解释A １８１
有一个一般的方法能使我们当表述式（１）与（２）被反驳后，就反驳表达式（３）。
①首先，我们写下构成反驳（１）与（２）的数组的所有素数，我们得到对于（１）的一系列数２，３，５与７，以及对于（２）的一系列数２，３与５。
其次，我们用完全不同于第一系列的素数的新的素数来代换第二系列的数，例如，以１代２，１３代３，１７代５。
这样我们就得到一组新的数：
（６）ａ１＝１３１３，ｂ１＝１３，ｃ１＝３１１１１，ｄ１＝４１３，Wａ２＝１１，ｂ２＝１１，ｃ２＝８１７，ｄ２＝３１１W这个数组也反驳（２）
，因为可整除性与互素性的关系保持着和它们在代换之前的同样情况。
第三，我们把（４）组和（６）
组中出现的对应的变项的数相乘。
这样我们就得到一个新组：ａ１３１３，ｂ１３，ｃ１１１１，ｄ１３，（７）１＝４１＝７１＝３１＝４Wａ２＝９１１，
ｂ２＝５１１，ｃ２＝８１７，
ｄ２＝３１１W这个数组反驳（３）。
因为很明显，第一，如果对于前提Ａｅｆ或Ｉｅｆ对应着数组：ｅ１，ｅ２，ｆ１，ｆ２与ｅ２互素，ｆ１与ｆ２互素，并且有另一数组ｅD１与ｅD２互素，ｆD１ｆD２与ｅD２互素，它们全都由不同于前一组数的素数组成，从而ｅ１与ｅD１的乘积（即ｅ１ｅD１）
，与ｅ２与ｅD２的乘积（即ｅ２ｅD２）必定是互素的，而且W①这个方法是由斯卢派斯基发现的。
《关于亚里士多德三段论理论的研究》第２８页—３０页。
②如果有一个变项出现于被反驳的表达式之中，但不出现在另一个之中，我们在最后的置换之后，就简单地取它的对应的数。
②
…… 194
２８１第五章 判定问题
ｆ１ｆD１与ｆ２ｆD２也必定是互素的。
其次，如果Ａｅｆ被第一组数确W证，亦即如果ｅ１可被ｆ１整除，而且ｅ２可被ｆ２整除，并且同样情况对于第二组数也是真的，使得ｅD１也被ｆD１整除，而且ｅD２也被ｆD２整除，那么，ｅ１ｅD１必定可被ｆ１ｆD１整除，ｅ２ｅD２必定可被ｆ２ｆD２整W除。
再有，如果Ｉｅｆ被第一组数确证，亦即ｅ１与ｆ２互素，而ｅ２
与ｆ１互素，并且同样情况对于第二组数也是真的，使得ｅD１与ｆD２互素，而ｅD２与ｆD１互素，那么，ｅ１ｅD１与ｆ２ｆD２必定是互素的，ｅ２WｅD２与ｆ１ｆD１必定是互素的，因为所有第二组的数对第一组的数W都是互素的。
相反地，只要可整除性或互素性这些条件之一未能满足，那么，这相关的前提必定是假的。
从我们的例子中可以看出：Ａａｄ和Ｉｂｄ都被（７）确证，因为它们都被（４）和（６）确证，并且Ｉｃｄ同时被（４）和（６）两者反驳，从而也被（７）反驳。
Ａａｂ仅被（４）反驳（但这也足以使得用（７）来反驳它了）
，并且Ｉｂｃ仅被（６）反驳（但这也足以使得用（７）来反驳它了）。
这个方法可应用于这一类的任何情况，从而斯卢派斯基规则就由莱布尼兹的解释所确证。
莱布尼兹曾经说过：科学的和哲学的争论总能够用一个演算来解决。
依我看，他的著名的“演算”似乎是与以上的三段论系统的算术解释相联系，而不是与他的关于数理逻辑的观念相联系。
３５。结束语A在亚里士多德三段论系统的历史的和系统的研究的基础上，我们所达到的结果，在许多点上都与通常的介绍不同。
…… 195
３５。结束语A ３８１
亚里士多德逻辑不仅被来自哲学方面的逻辑学家所误传，因为他们错误地把它与传统的三段论系统等同起来，而且也被来自数学方面的逻辑学家所误传。
人们可以在数理逻辑教科书中一再地读到：Ａ前提的换位定律以及从它引出的有些三段论的形式（如Ｄａｒａｐｔｉ或Ｆｅｌａｐｔｏｎ）都是错的。
这个批评是基于这个错误的概念：亚里士多德的全称肯定前提“所有ａ都是ｂ”与量化的蕴涵式“对所有ｃ而言，如果ｃ是ａ，则ｃ是ｂ”
（其中ｃ是一个单一词项）
的意思是一样的，而且特称肯定前提“有些ａ是ｂ”与量化的合取式“对于有些ｃ而言，ｃ是ａ并且ｃ是ｂ”
（其中ｃ也是一个单一词项）的意思是一样的。
一个人如果承认这样一种解释，那么，他当然能够说定律ＣＡａｂｌｂａ是错的，因为ａ可以是一个空词项，以致没有ｃ是ａ，并且上面的量化的蕴涵式成为真的（因为它的前件是假的）
，而上面的量化的合取式成为假的（因为它的因子之一是假的）。
但是所有这些都是对亚里士多德逻辑的不恰当的误解。
在《分析篇》中没有什么段落能说明这样一个解释是正确的。
亚里士多德并没有把单一词项或空词项或量项引入他的逻辑。
他把他的逻辑仅应用于普通词项，如象“人”或“动物”。
并且甚至这些词项也仅仅属于这个系统的应用，而不属于这个系统本身。
在这个系统中，我们只有带有变元的表达式（如Ａａｂ或Ｉａｂ）及其否定式。
并且这些表达式中的两个乃是原始词项而不能被定义；它们仅仅有那些由公理陈述的性质。
同样的理由，像亚里士多德的三段论系统是否是一个类的理论（ａ
ｔｈｅｏｒｙ
ｏｆ
ｃｌａｓ）这样的争论，在我看来，是没有益处的。
亚里士多德的三段论系统既不是一个类的理论也不是一
…… 196
４８１第五章 判定问题
个谓项理论；它独立于其它演绎系统而存在，有它自己的公理系统和自己本身的问题。
我曾试图陈述这个系统使之从各种外来因素中解脱出来。
我不把单一的、空的、否定的词项引入其中，因为亚里士多德未曾引进它们。
我也不引入量词；我只试图借助量词来解释有些亚里士多德的观念。
在形式证明中，我使用了演绎理论的断定命题，因为亚里士多德直观地把它们用在他的证明中，并且我使用排斥，因为亚里士多德本人排斥有些公式，而且甚至还陈述过一条排斥规则。
凡是亚里士多德的解说不完全正确的地方，我曾企图改正他的解说的缺点，例如，有些不能令人满意的使用归谬的证明，或者通过具体词项的排斥。
我所关注的是根据作者本人画定的轮廓并且符合现代形式逻辑的要求来建立亚里士多德的三段论的原来的系统。
这个系统的顶峰是判定问题的解决，而这是由斯卢派斯基的排斥规则而使之成为可能的，而且这是亚里士多德或其他逻辑学家所不知道的。
亚里士多德三段论是一个系统，其严格性甚至超过了一门数学理论的严格性，而这就是它的不朽的价值。
但是，它是一个狭小的系统，并且不能够应用于所有种类的推论，例如，数学的论证。
或许亚里士多德本人已经感到了他的系统不是适于每一种目的，因为他后来在实然三段论理论之外增加了模态三段论理论①。
这当然是逻辑的一个扩展，但也许并非是
①我认为由亚里士多德在《前分析篇》第Ⅰ卷第８—２２章所说明的模态三段论理论是后来插进去的，因为第２３章明显地是第７章的一个直接的继续。
…… 197
３５。结束语A ５８１
一个正确的方向。
斯多亚派的逻辑，命题演算的古代形式的发明者，比之亚里士多德所有的三段论都更为重要。
今天，我们都认识到演绎理论与量词理论是逻辑的最基本的分支。
亚里士多德对这一事实是没有责任的：即多少世纪以来，他的三段论，或者勿宁说他的三段论的讹误的形式，曾经是哲学家们所知道的唯一的逻辑。
他对这个事实也是没有责任的：他的逻辑对哲学的影响（在我看来）乃是灾难性的。
我认为，这个灾难性的影响的根本点在于这样一种偏见，即认为每一个命题跟亚里士多德逻辑的前提一样有一个主项和一个谓项。
这种偏见与把真理标准了解为“事物与认识一致”
（ａｄａｅｑｕａｔｉｏ
ｒｅｉ
ｅｔ
ｉｎｔｅｌｅｃｔｕｓ）合在一起，构成了某些著名的但是奇怪的哲学玄思的基础。
康德根据一个命题的谓项对于它的主项的关系，把所有命题（他称为“判断”）划分为分析的和综合的。
他的《纯粹理性批判》主要是企图解释真的综合的先验的命题怎样是可能的问题。
有些逍遥学派的学者，例如亚历山大，显然已经察觉到有一大类没有主项与谓项的命题，如像蕴涵式、析取式、合取式等等。
①所有这些都可以叫做函子命题（ｆｕｎｃ－ｔｏｒｉａｌ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）
，因为在它们之中
①联系着亚里士多德对于前提（πρóασιｓ）的定义，亚历山大写道（１。
H１７）
：“这些前提的定义不是对所有的前提而言，而仅是对简单的或所谓的直言的前提而言的。
它的特点在于：某物包含于某物之中，或者包含于其全部之中，或包含于其部分之中，或包含于不加限定的某物之中。
对于假言命题来说，不能断言其中某物包含于某物之中，而它的内容乃是一命题由另一命题而得出或者它们矛盾，从而或是真的或是假的。“
…… 198
６８１第五章 判定问题
全都有一个命题函子，像“如果——那么”
，“或”
，“并且”。
这些函子命题乃是每一种科学理论的主要支柱，并且不论是康德关于分析的和综合的判断的区分，还是真理的通常标准，对它们都是不适用的，因为没有主项或谓项的命题是不能直接与事实比较的。
康德的问题失去了它的重要性，并且必须代之以一个更为重要的问题：真的函子命题怎样才是可能的？
在我看来，这里似乎存在着一个新哲学以及一个新逻辑的起点。
…… 199
第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
３６。导 言A亚里士多德的模态逻辑之所以这样很少为人知道，有两个原因。
首先，应当归咎于作者自己，因为跟十分明确并且差不多完全没有错误的实然三段论相反，亚里士多德的模态三段论，由于其中包含很多缺点和自相矛盾之处而使人几乎不能理解。
亚里士多德在《解释篇》的某些有关章节中叙说了这个问题，但是他的模态三段论的系统却在《前分析篇》的第一卷（第三章和第八章到第二十二章）
作了详细的阐述。
哥尔克①提出过这样的假设：这些章节可能是后来插进去的，因为第二十三章显然与第七章直接衔接。
如果哥尔克是正确的，那末，模态三段论是亚里士多德最后的逻辑著作，应当作为未经作者最后修订的初稿看待。
这种说法既可解释系统中的缺点，也可解释德奥弗拉斯特斯和欧德谟斯的修订，这种修订可能是根据亚里士多德自己的暗示作出的。
第二个原因就在于，现代逻辑学家尚不能建立一个可以普遍为人接受的、对解释和评价亚里士多德的著作提供坚实
①保尔哥尔克：《亚里士多德逻辑的形成》，柏林，１９３６年版，第８—９４页。
W
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８１第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
基础的�