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他的证明完全性能的方法可以运用于带有表达式ＣδＣδＮｐδｑ作为公理的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统。
在第１６５页注②中所提到的我那篇关于模态逻辑的论文中，我从公理５１推出Ｃ—Ｎ—Ｐ系统的三个被断定的公理，即ＣＣｐｑＣｑｒＣｐｒ，ＣＮｐ，ＣｐＣＮｐｑ，以及某些出现δ的重要断定命题，其中包括扩展原则。
…… 240
８２２第七章 模态逻辑系统
推论规则就是通常的分离规则和对命题变项和函子变项的替代规则。
为了以例子说明这些规则如何发生作用，我将从公理５１推出同一律Ｃｐ。
可将这个推论与Ｃ—Ｎ—ｐ系统中对Ｃｐ证明加以比较。
①
５１。
δ‘，ｑｐ×５３＇５３。
ＣｐＣＮｐ
５１。
δＣｐＣＮｐ‘，ｑＮｐ×Ｃ５３—５４＇ ＇５４。
ＣｐＣＮｐＮｐＮｐＣＮｐＮｐ
５１。
δ‘，ｑＮｐ×５＇ ＇５。
ＣｐＣＮｐＮｐ
５。
ｐＣｐＣＮｐＮｐ×Ｃ５—５６＇５６。
ＣＮＣｐＣＮｐＮｐＮＣｐＣＮｐＮｐ
５１。
δＣ“
，ｐＣｐＣＮｐＮｐ，ｑｐ×Ｃ５４—Ｃ５６—５７＇５７。
Ｃｐ我想强调指出，在公理５１之上建立的系统比Ｃ—Ｎ—ｐ系统要丰富得多。
在包含δ的断定的结论中有这样的逻辑定律，像ＣＣｐｑＣｑｐＣδｐδｑＣδＣｐｑＣδｐδｑＣδＣｐｑＣｐδｑ——所有这些都是非常重要的定律，但是几乎所有的逻辑学家对它们都毫无所知。
例如，第一个定律是与ＣＱｐｑＣδｐδｑ等值的扩展原则，第二个定律可以采用为称作“蕴涵”系统的唯一的公理；第三个定律可以采用为称作“实证”
逻辑的一个公理。
所有这些定律都可以用真值表方法按照下面给予的规则加以验证。
在二值逻辑中存在四个并且也只有四个带有一个主目的
①参阅第１０２页。
…… 241
４８。
δ－定义A ９２
不同函子，这里用Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ来标志（参阅真值表Ｍ６）
对验证δ－表达式，用下述实用规则是足够的，这个规则实际上应当归功于列斯涅夫斯基。
这个规则是：相继地写下函子Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ以代替δ，然后消除Ｓ，将Ｖａ变成Ｃｐ，而将Ｆａ变成ＮＣｐ。
如果你们在所有的情况下都得出一个真的Ｃ—Ｎ—公式，那末，这个表达式就被断定，否则，就应当被排斥。
例如，ＣδＣｐｑＣδｐδｑ应当被断定，因为我们有ＣＳＣｐｑＣＳｐＳｑ＝ＣＣｐｑＣｐｑ，ＣＮＣｐｑＣＮｐＮｑ，ＣＶＣｐｑＣＶｐＶｑ＝ＣＣｐＣｐＣｐ，ＣＦＣｐｑＣＦｐＦｑ＝ＣＮＣｐＣＮＣｐＮＣｐ。
表达式ＣＣｐｑＣδｐδｑ应当被排斥，因为ＣＣｐｑＣＮｐＮｑ不是一个真的Ｃ—Ｎ—公式。
由此，我们看到，Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统的所有表达式用真值表的方法都是容易加以证明或否证的。
４８。
δ－定义A函子δ可以成功地运用于表达定义。
《数学原理》的作者们用一个特殊的符号表达定义，这特殊的符号由将定义项和被定义项联结起来的等号“＝”
，以及放在定义之后的字母
…… 242
０３２第七章 模态逻辑系统
“ＤＦ”所组成。
按照这个方法，析取式的定义就可以这样来表示：ＣＮｐｑ。
＝。
Ｈｐｑ
Ｄｆ，这里ＣＮｐｑ（“如果非ｐ，那末ｑ”）是定义项，而Ｈｐｑ，（“或者ｐ，或者ｑ”）是被定义项。
①符号“。
＝。
Ｄｆ“是与一个特殊的推论规则联结在一起的，这个推论规则允许用被定义项代替定义项，以及反转过来。
这种定义的优点在于结果是直接给予的。
但是它却具有增加基本符号和推论规则的数目这样的缺点，而这些数目应当尽可能地减少。
列斯涅夫斯基总是将同样的定义写成一个等值式，因此，在他的系统中没有引入用以表达定义的新的基本词项。
为了这个目的，他选择了等值式作为他的命题逻辑的基本词项，这个命题逻辑借助于函子变项和量符而加以扩展，并且被他称之为“原始命题演算系统”
（ｐｒｏｔｏｔｈｅｔｉｃ）。
这正是他的观点的优越之处。
但另一方面，他不能直接用被定义项代换定义项，或者反转过来，因为等值式具有允许作出这种代换的一些特殊规则。
在我们的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统中，等值式不是基本词项；因此对它必须给以定义，但是为了避免恶的循环，它不能用等值式来下定义。
然而，我们将看到，可以用一定的方法将Ｃ和δ去表达定义，这种方法保存了上述两种观点的优点，而避免了它们的缺点。
①我通常用Ａ表示析取，但这个符号在我的三段论中已经具有了别的意义。
…… 243
４８。
δ－定义A １３２
一个定义的目的在于引入一个新的词项，这个词项通常是由我们已知的词项所组成的一些复合表达式的一个简化式。
定义的两部分（定义项和被定义项）
为了产生一个合式的定义，必须满足某些条件。
下述四个条件对引入我们系统中的新的函项的定义是必要的也是充分的：（ａ）
不管是定义项还是被定义项，都须是命题的表达式。
（ｂ）定义项必须由基本词项，或者由用基本词项已经定义过的词项组成。
（ｃ）
被定义项须要包含通过定义而引入的新的词项。
（ｄ）在定义项中所出现的任何自由变项，必须在被定义项中也出现，反过来也是一样。
容易看到，例如作为定义项的ＣＮｐｑ和作为被定义项的Ｈｐｑ就遵守了上述四个条件。
我们现在以ｐ和Ｒ标志满足（ａ）—（ｄ）的条件的两个表达式，因此，其中之一（究竟是哪一个，这没有关系）可以取作定义项，而另一个取作被定义项。
假定其中任何一个都不包含δ。
我认为，这个断定的表达式ＣδＰδＲ就代表一个定义。
例如：５８。
ＣδＣＮｐｑδＨｐｑ代表析取的定义。
按照５８式，任何包含ＣＮｐｑ的表达式可以直接改变为另外一个表达式，其中ＣＮｐｑ被Ｈｐｑ所代换。
我们可以取邓斯司各脱原则作为例子：W５９。
ＣｐＣＮｐｑ，我们可以通过下述推论从它得出定律ＣｐＨｐｑ，用语言表达即是：“如果ｐ，那末，或者ｐ或者ｑ”
：
５８。
δＣｐ‘×Ｃ５９—６０＇６０。
ＣｐＨｐｑ。
…… 244
２３２第七章 模态逻辑系统
如果我们想将我们的定义运用于克拉维乌斯原则：６１。
ＣＮｐ，我们必须首先在５８式中用ｐ代ｑ，从而得出
５８。
ｑｐ×６２＇６２。
ＣδＣＮｐｑδＨｐｑ
６２。
δＣ‘ｐ×Ｃ６１—６３＇６３。
ＣＨｐ。
（公式６３读作：“如果或者ｐ或者ｐ，那末ｐ”
，它是《数学原理》的作者们所采用的一个“基本命题”或公理。
他们将这个公理正确地称为“重言式原则”
，因为这个公理所陈述的是两次叙说同一东西（α‘òDγ∈ι）
，“ｐ或者ｐ”
，就是仅只叙H F H Q M F说了“ｐ”。
例如，邓斯司各脱原则在任何合理的意义上都不W是重言式。）
５８式的逆蕴涵式ＣδＨｐδｑＣＮｐｑ是与前一公式一起被给予的，它使我们有可能用ＣＮｐｑ去代换Ｈｐｑ。
的确，我们只要用替代规则和分离规则就能证明下述一般定理：（Ｃ）如果ｐ和Ｒ是任何不包含δ的有意义的表达式，并且ＣδｐδＲ是被断定的，那末，ＣδｐδＲ也同样应当被断定。
证明：（Ｄ）ＣδＰδＲ
（Ｄ）
δＣδ‘δＰ×（Ｅ）
＇（Ｅ）ＣＣδＰδＰＣδＲδＰ
（Ｄ）
δＣＣδＰδ‘ＣδＲδＰ×（Ｆ）
＇（Ｆ）ＣＣδＰδＰＣδＲδＰＣδＰδＲＣδＲδＰ（Ｆ）×Ｃ（Ｅ）—Ｃ（Ｄ）—（Ｇ）
…… 245
４９。模态逻辑的四值系统A ３３２
（Ｇ）ＣδＲδＰ。
所以，如果ｐ和Ｒ不包含δ，并且其中一个可以解释为定义项而另一个为被定义项，那末，显然，任何具有ＣδＰδＲ形式的被断定的表达式都是一个定义，因为ｐ到处可以为Ｒ所代换，而Ｒ也到处可以为ｐ所代换，这恰恰就是一个定义所具有的特性。
４９。模态逻辑的四值系统A模态逻辑的每一系统都必须包含基本模态逻辑以作为自己的固有部分，即必须在它的断定命题中包含Ｍ－公理：ＣｐＭｐ，PＣＭｐｐ和PＭｐ，与Ｌ－公理：ＣＬｐ，PＣｐＬｐ和PＮＬｐ。
容易看到，Ｍ和Ｌ与二值演算中的四个函子Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ的任何一个都是有区别的。
Ｍ不能是Ｖ，因为Ｍｐ是被排斥的，而Ｖｐ＝Ｃｐｐ却被断定；它也不能是Ｓ，因为ＣＭｐｐ是被排斥的，而ＣＳｐ＝Ｃｐｐ却被断定，它也不能是Ｎ和Ｆ，因为ＣｐＭｐ被断定，而ＣｐＮｐ和ＣｐＦｐ＝ＣｐＮＣｐｐ却被排斥。
这对于Ｌ也同样如此。
函子Ｍ和Ｌ在二值逻辑中不能得到解释。
所以，任何模态逻辑系统都应当是多值的。
另外还有一种观点，它也导致同样的结果。
如果我们跟亚里士多德一样，承认某些未来的事件（例如海战）是偶然的，那末，今天陈述这些事件的命题就既不能是真的，也不能是假的，因此要有区别于１和０的第三个真值。
根据这个观念，并且借助于真值表方法（我从皮尔士和施累德那里熟悉了这种方法）
，我在１９２０年建立了三值的模态逻辑系统，后来又在
…… 246
４３２第七章 模态逻辑系统
１９３０年的论文中发展了这个系统。
①今天我已了解到，这个系统不能满足我们关于模态的全部直觉，因而应当为下面所描述的系统所代替。
我的意见是：在任何模态逻辑中都应当保存古典的命题演算。
这种演算至今仍然表明它的确实性和有效性，而不应当毫无根据将它弃之一边。
万幸得很，古典命题演算不仅有一个二值的真值表，而且还有足够的多值真值表。
我曾试图将最简单的，对Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统为足够的多值真值表，即四值真值表运用于模态逻辑，并且成功地获得了预期的结果。
正如我们在第４６节所看到的那样，真值表Ｍ２的元素是一对值１和０，它从下述等式推出Ｎ的真值：（ｚ）Ｎ（ａ，ｂ）＝（Ｎａ，Ｎｂ）。
表达式“（Ｎａ，Ｎｂ）”是一般形式（∈ａ，ｂ）的特殊情况，这里∈和具有二值演算中的Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ等函子作为真值。
因为∈的四个值中的每一个都可以和的四个值中的每一个相组合，我们就得出１６种组合，这１６种组合定义四值演算中具有一个主目的１６个函子。
我在其中找到两个函子，每一个都能代表Ｍ。
这里我定义其中一个，而另一个我将在以后再讨论。
（α）Ｍ（ａ，ｂ）＝（Ｓａ，Ｖｂ）＝（ａ，Ｃｂ）
①杨卢卡西维茨《论三值逻辑》（ＯｌｏｇｉｃｅｔｒóｊｗａｒｔｏｓDｃｉｏｗｅｊ）
，载《哲学进W展》《Ｒｕｃｈ
Ｆｉｌｏｚｏｆｉｃｚｎｙ》，第五卷利沃夫（Ｌｗóｗ）
，１９２０；杨卢卡西维茨《命W题演算多值系统的哲学考察》（Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｓｃｈｅ
Ｂｅｍｅｒｋｕｎｇｅｎ
ｚｕｍｅｈｒｗｅｒｔｉCｇｅｎ
ｓｙｓｔｅｍｅｎｄｅｓ
Ａｕｓａｇｅｎｋａｌｋüｌｓ）
，载《华沙科学与文学学会会刊》，第十三卷ｃｌ。
３，１９３０。
…… 247
４９。模态逻辑的四值系统A ５３２
在（α）的基础上我得出Ｍ的真值表Ｍ７，我用在第４６节中所说的同样的简化法将Ｍ７变为真值表Ｍ８，即：（１，１）＝１，（１，０）＝２，（０，１）＝３和（０，０）＝０。
这样，在得出Ｍ的真值表以后，我选择Ｃ，Ｎ和Ｍ作为基本词项，并且将我的模态逻辑系统建立在下述四个公理之上：５１。
ＣδｐＣδＮｐδｑ
４。
ＣｐＭｐ
P５。
ＣＭｐｐP７。
Ｍｐ。
推论的规则是关于断定的表达式和排斥的表达式的替代规则和分离规则。
Ｌｐ是依靠δ定义引入的：C６４。
ＣδＮＭＮｐδＬｐ。
这表示：“ＮＭＮｐ”在任何地方都可以为“Ｌｐ”所替换，而反过来，“Ｌｐ”在任何地方也可以为“ＮＭＮｐ”所替换。
同样的模态逻辑系统也可以在下述基础上建立：使用Ｃ，Ｎ和Ｌ作为基本词项，以及公理：５１。（。电子书。整*理*提*供）
ＣδｐＣδＮｐδｑ
３。
ＣＬｐ
P６。
ＣｐＬｐP８。
ＮＬｐ，
…… 248
６３２第七章 模态逻辑系统
和Ｍ的δ定义：C６５。
ＣδＮＬＮｐδＭｐ。
Ｍ９是这个系统的充分足够的真值表：
我希望，在经过上述解释之后，每一个读者都可以借助于这个真值表去验证属于这个系统的任何公式，即证明断定的公式和否证排斥的公式。
可以证明，这个系统在这样的意义上说是完全的，即属于这个系统的每一个有意义的表达式都是可以判定的，它或者被断定，或者被排斥。
它在这样的意义上说也是一致的，即无矛盾的，这就是说任何一个有意义的表达式不能同时既被断定又被排斥。
这一个公理的集合是独立的。
我想强调一下，这个系统的公理完全是自明的。
带有δ的公理应当为所有接受古典命题演算的逻辑学家所熟悉；带有Ｍ的公理也应当断定为真；推论的规则同样是自明的。
在这个系统中所有正确推出的结果都应当为接受这些公理和推论规则的人所允许。
没有真正的理由可以用来反对这个系统。
我们也将看到，这个系统排斥了所有关于模态逻辑所引出的错
…… 249
５０。必然性和模态逻辑的四值系统A ７３２
误推论，解释了亚里士多德模态三段论中的困难，并且揭示了一系列意外的、对于哲学具有重大意义的逻辑事实。
５０。必然性和模态逻辑的四值系统A在第六章结尾时指出过两个重大的困难：第一个是与亚里士多德承认有断定的必然命题相联系，第二个是与他承认有断定的偶然命题相联系，现在让我们解决第一个困难。
如果将所有分析命题都看作是必然真的命题，那末，最典型的分析命题——同一性原则Ｆｘ——也应当看作是必然真的命题。
正如我们已经看到的那样，这就会导致这样错误的结论，即任何两个个体，如果它们是同一的，它们就必然是同一的。
这个结论是不能从我们的模态逻辑系统推论出来的，因为可以证明：在这个系统中任何一个必然命题都不是真的。
由于这个证明是建立在扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ的基础上的，我们必须首先证明，这个定律是从我们的系统推出的。
公理５１的结果要这样表述：６。
ＣδＣｐｑＣδｐδｑ。
从６式通过替代δＭ‘推出公式：＇６７。
ＣＭＣｐｑＣＭｐＭｑ，而从６７式通过ＣＣｐｑＭＣｐｑ，公理４的替代，和借助于假言三段论，我们得出较强的Ｍ－扩展定律：１９。
ＣｐｑＣＭｐＭｑ。
较强的Ｌ－扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ是通过易位从１９式推出的。
在第４２节中所遗留下未获解决的问题，即亚里士多德的扩
…… 250
８３２第七章 模态逻辑系统
展定律的较强的或较弱的解释应该容许哪一个的问题，这样得到了有利于较强的解释的解决。
任何必然命题都不是真的，这个证明现在将以充分精确的形式作出；前提：
P６。
ＣｐＬｐ１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ３。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ６８。
ＣｐｑｒＣｑｒ推演：
６８。
ｒＣＬｐＬｑ×Ｃ１８—６９＇６９。
ＣｑＣＬｐＬｑ
３。
ｐｑ，ｑＬｐ，ｒＬｑ×Ｃ６９—７０＇７０。
ＣＬｐＣｑＬｑ
７０。
ｐα，ｑｐ×ＣP７１—P６＇ ＇ P７１。
Ｌα希腊字母的变项α需要作些解释。
公式７０的后件ＣｑＬｑ，它与排斥的表达式ＣｐＬｐ同义，按照我们的规则，允许排斥前件Ｌｐ以及对Ｌｐ的任何替代。
但是，这不能依靠PＬｐ来表达，因为从一个排斥的表达式通过替代不能得出任何东西。
例如，Ｍｐ是被排斥的，但是ＭＣｐ——一个Ｍｐ�