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但是不要忘了，我们是在与无穷大数打交道，因而就必须做好遇到异常的性质的思
想准备。
在无穷大的世界里，部分可能等于全部！关于这一点，著名德国数学家希尔伯
特（David Hilbert）有一则故事说明的再好不过了。据说在他的一篇讨论无穷大的
演讲中，他曾用下面的话来叙述无穷大的似非而是的性质：
我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位
新客，想订个房间。“对不起，”旅店主说，“所有的房间都住满了。”现在再设
想另一家旅店，内设无限个房间，所有的房间也都客满了这时也有一位新客来临，
想订个房间。
“不成问题！”旅店主说。接着，他就把一号房间里的旅客移至二号房间，二
号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移到四号房间，等等，这一来，新客
就住进了已被腾空的一号房间。
我们再设想一座有无限个房间的旅店，各个房间也都住满了。这时，又来了无
穷多位要求订房间的客人。
“好的，先生们，请等一会儿。”旅店主说。
他把一号房间的旅客移到二号房间，把二号房间的旅客移到四号房间，三号房
间的旅客移到六号房间，等等，等等。
现在，所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了。
由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间，所以，即使在华盛顿，这段话
也不容易被人们所理解。但这个例子却确实举到了点子上，它使我们明白了：无穷
大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样。
按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明，所有的普通分数（如等
）的数目和所有的整数相同。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与
分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即；然后写下两者之和为3的分数，即
和；再往下是两者之和为4的，即，，。这样做下去，我们可以得到一个无穷的分数
数列，它包括了所有的分数（图5）。现在，在这个数列旁边写上整数数列，就得到
了无穷分数与无穷整数的一一对应。可见，它们的数目又是相等的！
你可能会说：“是啊，这一切都很妙，不过，这是不是就意味着，所有的无穷
大数都是相等的呢？如果是这样，那还有什么可比的呢？”
不，事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整数和所有分数所构成的
无穷大数还要大的无穷大数来。
如果研究一下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数的个数的多少的
问题，我们就会发现，这两个数目是不一样大的。线段上的点数要比整数的个数多
得多。为了证明这一点，我们先来建立一段线段（比如说1寸长）和整数数列的一一
对应关系。
这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离
可以写成无穷小数的形式，如
0。7350624780056。。。。。。
或者
0。38250375632。。。。。。
现在我们所要做的，就是比较一下所有整数的数目和所有可能存在的无穷小数
的数目。那么，上面写出的无穷小数和，，这类分数有什么不同呢？
大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则：每一个普通分数都可以分成
无穷循环小数。如。我们已经证明过，所有分数的数目和所有整数的数目相等，所
以，所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等。但是，一条线段上的点可不
能完全由循环小数表示出来，绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容
易证明，在这种情况下，一一对应的关系是无法建立的。
假定有人声称他已经建立了这种对应关系，并且，对应关系具有如下形式：
当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏地写光，因此，上
述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律（类似于我们用来排列分数的规律）
，在这种规律的指导下，他制定了上表，而且任何一个小数或迟或早都会在这张表
上出现。
不过，我们很容易证明，任何一个这类的声称都是站不住脚的，因为我们一定
还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多个小数。怎么写呢？再简单不过了
。让这个小数的第一小数位（十分位）不同于表中第一号小数的第一小数位，第二
小数位（百分位）不同于表中第二号小数的第二小数位，等等。这个数可能就是这
个样子（还可能是别的样子）：
这个数无论如何在上表中是找不到的。如果此表的作者对你说，你的这个数在
他那个表上排在第一百三十七号（或其他任何一号），你就可以立即回答说：“不
，我
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…23 17：56：00
这个数不是你的那个数，因为这个数的第一百三十七小数位和你那个数的第一
百三十七小数位不同。”
这么一来，线上的点和整数之间的一一对应关系就建立不起来了。也就是说，
线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数或分数所构成的无穷大数。
刚才所讨论的线段是“1寸长”。不过很容易证明，按照“无穷大数算术”的规
则，不管多长的线段都是一样。事实上，1寸长的线段也好，1尺长的线段也好，1里
长的线段也好，上面的点数都是相同的。只要看看图6即可明了，AB和AC为不同长度
的两条线段，现在要比较它们的点数。过AB的每一个点做BC的平行线，都会与AC相
交，这样就形成了一组点。如D与D，E与E，F与F等。对AB上的任意一点，AC上都有
一个点和它相应，反之亦然。这样，就建立了一一对应的关系。可见，按照我们的
规则，这两个无穷大数是相等的。
通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有
的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一点，我们来考虑一条长1寸的线段A
B上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数（图7）。
假定线段上某点的位置是0。7512036。。。。。。。我们可以把这个数按奇分位和偶分
位分开，组成两个不同的小数：
0。7108。。。。。。
和
0。5236。。。。。。
以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点，这个点就叫
做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由
0。4835，0。9907这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的
相应的“对偶点”0。49893057。
很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平
面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来
的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点
数的无穷大数相等。
用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所
有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数
在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方
体内点数的多少与它们的大小无关。
尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数
。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的
样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。
按照“无穷算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母（读作阿
莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这
样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为
我们说“一条线段上有个点”或曲线的样子有种“，就和我们平常说“世界有
七大洲”或“一付扑克牌有五十四张”一样。
在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，无穷大数的级只要有几个，就足
够把人们所能想象出的任何无穷大数都包括进去了。大家知道，表示所有整数的数
目，表示所有几何点的数目，表示所有曲线的数目，但到目前为止，还没有人想得
出一种能用来表示的无穷大数来。看来，头三级无穷大数就足以包括我们所能想到
的一切无穷大数了。因此，我们现在的处境，正好跟我们前面的原始部族人相反：
他有许多个儿子，可却数不过三；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们
来数！
第二章 自然数和人工数
１．最纯粹的数学
数学往往被人们，特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为皇后，它当然不能屈尊俯就其它学科。因此，在一次“纯粹数学和应用数学联席会议上”，当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲，以求消除在于这两种数学家之间的敌对情绪时，他这样说：
☆经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是不符合事实的，纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去不曾对立过，将来也不会对立。它们是对立不起来的，因为在事实上它们两者毫无共同之处。☆
然而，尽管数学喜欢保持自己的纯粹性，并尽力远离其它学科，其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”，特别是物理学。事实上，纯粹数学的几乎每一个分支，包括诸如抽象群、不可逆代数、非欧几何等一向被认为是纯而又纯、决不能派任何用场的数学理论，现在也都被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了。
但是，迄今为止，数学还有一个大分支没找到什么用途（除了起智力体操的作用以外），它真可以戴上“纯粹之王冠”哩。这就是所谓“数论”（这里的数指整数），它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。（录入者，在计算机加密方面已经有所应用）
说来也怪，这门最纯粹的科学，从某种意义上说，又可以称为经验科学，甚至可称为实验科学。事实上，它的绝大多数定理都是靠用数学试着干某些事情而建立起来的，正如物理学定律是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样。并且，数论的一些定理已“从数学上”得到了证明，而另一些却还停留在经验的阶段，至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁，这一点也和物理学一样。
我们可以用质数问题作为例子。所谓质数，就是不能用两个或两个以上（１除外）较小的整数的乘积来表示的数，如１，２，３，５，７，１１，１３，１７，等等。而１２可以写成2×2×3，所以就不是质数。
质数是没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数的展延是不受任何限制的。
☆为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用Ｎ来表示。现在让我们把所有质数都乘起来，再加上１。这写成数学式是：
（1×2×3×5×7×11×13×……×N）＋1
这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数不能被到N为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。
因此，这个数要嘛本身也是个质数，要嘛就是能被比Ｎ还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。☆
这种证明方式叫做反证法，是数学家们爱用的工具之一。
我们既然知道质数的数目是无限的，自然就会想问一问，是否有什么简单方法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的哲学家兼数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一种名叫“过筛”的方法。这就是把整个自然数列１，２，３，４。。。。。。统统写下来，然后去掉所有２的倍数、３的倍数、５的倍数等等。前１００个数“过筛”后的情况如图９所示，共剩下二十六个质数。用这种简单的过筛方法，我们已经得到了十亿以内的质数表。
如果能导出一个公式，从而能迅速而自动地推算出所有的质数（并且仅仅是质数），那该多简便啊，１６４０年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己找到了一个这样的公式。这个公式是
exp（2；exp（2；n））＋1，n取自然数的各个值１，２，３，４等等。从这个公式我们得到：
exp（2；exp（2；1））＋1=5
exp（2；exp（2；2））＋1=17
exp（2；exp（2；3））＋1=257
exp（2；exp（2；4））＋1=65；537
这几个数都是质数。但在费马宣称他取得这个成就以后一个世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）指出，费马的第五个数不是个质数，而是6；700；417和641的乘积。因此，费马这个推算质数的经验公式被证明是错的。
还有一个值得一提的公式，用这个公式可以得到许多质数，这个公式是：
exp（n；2）…n＋41
n也取自然数各个值１，２，３等等。已经发现，在n为１到40的情况下，用这个公式都能得出质数。但不幸得很，到了第四十一步，这个公式也不得了。
事实上，
exp（41；2）…41＋41
这是一个平方数，而不是质数。
人们还试验过另一个公式，它是：
exp（n；2）…79n＋1601
这个公式在n从１到79时都能得到质数，但当n=80时，它又不成立了！
因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今还没有解决。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…23 21：01：00
数论定理另一个有趣的例子，是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”
这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个大于2的偶数都能表示为两个质数之和。
从一些简单的例子，你很容易看出这句话是对的。例如；12=7＋5；24=17＋7；32=29＋3，但是数学家们在这方面做了大量工作，却仍然既不能做出肯定的断语，也不能找出一个反证。1931年，苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了，每个偶数都能表示为不多于300；000个质数的和。“300；000个质数之和”和“2个质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“四个质数之和”。但是，从维诺拉多夫的“四个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后两步大概是最难走的。谁也不能告诉你，到底是需要几年还是需要几个世纪。（※我国青年数学工作者陈景润又把这个结果推进了一步。他的结论是：任何一个大于2的偶数都可以表示为一个质数和不多于两个质数的乘积之和※）
可见，谈到推导能自动给出直到任意大的所有质数的公式的问题，从现在来看，我们离这一步还远得很哩！目前我们甚至连到底存在不存大这样的公式，也都还没有把握呢！
现在，让我们换个小一点的问题看一看－－在给定的范围内质数所能占的百分比有多大。这个比值是随着数的增长加大还是减小，或者是近似为常数呢？我们可以用经验的方法，即通过查找各种不同数值范围内质数数目的方法，来解决这个问题。这样，我们查出，100之内有26个质数，在1；000之内有168个，在1；000；000之内有78；498个，在1；000；000；000之内有50；847；478个。把质数个数除以相应范围内的整数个数，得出下表：
数值范围 质数数目 比率 1/ln（n） 偏差（
％）
1－100 26 0。260 0。217 20
1－1000 168 0。168 0。145 16
1－exp（10；6） 78；498 0。078498 0。072382 8
1－exp（10；9） 50，847，478 0。050847478 5
从这张表上首先可以看出，随着数值范围的扩大，质数的数目相对减少了。但是，并不存在质数的终止点。
有没有一个简单方法可以用数学形式表示这种质数比值随范围的扩大而减小的现象呢？有的。并且，这个有关质数平均颁的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一。这条规律很简单。就是：从1到任何自然数Ｎ之间所含质数的百分比，近似由Ｎ的自然对数的倒数所表示。Ｎ越大，这个规律就越精确。
从上表的第四栏，可以看到Ｎ的自然对数的倒数。把它们和前一栏对比一下，就会看出两者是很相近的，并且，Ｎ越大，它们也就越相近。
有许多数论上的定理，开始时都是凭经验作为假设提出，而在很长一段时间内得不到严格的证明的。上面这个质数定理也是如此。直到上世纪末，法国数学家阿达马（Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家布散（deLa Vallee Poussin）才终于证明了它。由于证明的方法太繁难，我们这里就不介绍了。
既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，先要回溯到古埃及。古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长为3：4：5的三角形中，必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…23 21：06：00
公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番都（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3和4这两个整数？他�