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exp（x；2）＋exp（y；2）=exp（z；2）
式中的x，y，z必须是整数。
1621年，费马在巴黎买了一本刁番都所著〖算术学〗的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书的空白处作了一些简短的笔记，并且指出，
exp（x；2）＋exp（y；2）=exp（z；2）
有无穷多组整数解，而形如
exp（x；n）＋exp（y；n）=exp（z；n）
的方程，当n大于2时，永远没有整数解。
他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”
费马死后，人们在他的图书室里找到了刁番都的那本书，里面的笔记也公诸于世了。那是在三个世纪以前。从那时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有相当大的进展，一门全新的数学分支－－“理想数论”－－在这个过程中创建起来了。欧拉证明了，方程
exp（x；3）＋exp（y；3）=exp（z；3）
和
exp（x；4）＋exp（y；4）=exp（z；4）
不可能有整数解。狄里克莱（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了exp（x；5）＋exp（y；5）=exp（z；5）也是这样。依靠其它一些数学家的共同努力，现在已经证明，在N小于269的情况下，费马的这个方程都没有整数解。不过，对于指数N在任何值下都成立的普遍证明，却一直没能作出。人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。为征求这个问题的解答，曾经悬赏过十万马克。那时，研究这个问题的人真是不少，不过，这些拜金的业余数学家都一事无成。
这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了。不过，这个幂次一定要在比269大的数目中去找，这可不是一件容易事啊。
（录入者：这个定理于1995年？我记不清了，已经有数学家给出了证明，现在可以肯定地说，费马大定理是正确的了
神秘的sqrt（…1）（根号负一）
现在，让我们来搞点高级算术。二二得四，三三见九，四四一十六，五五二十五，因此，四的平方根为二，九的平方根为三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。
然而，负数的平方根是什么样呢？sqrt（…5）和sqrt（…1）之类的表达式有什么意义呢？
如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论说，这样的式子没有任何意义，这是可以引用十二世纪的一位数学家拜斯。迦罗（Brahmin Bhaskara）的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”
可是数学家的脾气倔强得很。如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头，他们就会尽可能造出一些意义来。负数的平方根就在很多地方冒过头，既在古老而简单的算术问题上出现，也在二十世纪相对论的时空结合问题上露面。
第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是十六世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10分成两部分，使两者的乘积等于40时，他指出，尽管这个问题没有有理解，然而，如果把答案写成5＋sqrt（…15）和5…sqrt（…15）这样两个怪模怪样的表达式，就可以满足要求了。
尽管卡尔丹认为这两个表达式没有意义，是虚构的、想象的，但是，他毕竟把它们写下来了。
既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10分成两个乘起来等于40的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根－－卡尔丹给它起了个大号叫“虚数”－－就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉1770年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切如sqrt（…1）的数学式，都是不可能有的、想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都是不是少些什么。它们纯属虚幻。”
但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数和根式中无法避免的东西。没有它们，简直可以说寸步难行。
不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻象。而且，正象我们从基数1可以得到所有实数一样，我们可以把sqrt（…1）作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。通常写作i。
不难看出
sqrt（…9）=sqrt（9）×sqrt（…1）=3i
sqrt（…7）=sqrt（7）×sqrt（…1）=2。646…。。i
…。。
这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭档。此外，实数和虚数结合起来，形成单一的表达式，例如5＋sqrt（…15）=5＋sqrt（15）i。这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表达式通常称做复数。
虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释后，这张面纱才被揭去，这两个人是：测绘员威塞尔（Wessel），挪威人；会计师阿尔刚（Robert Argand），法国巴黎人。
按照他们的解释，一个复数，例如3＋4i，可以象图10（录入者，就是一个复平面，这个大家应该都知道了）那样表示出来，其中3是水平方向的座标，4是垂直方向的座标。
所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点，而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数3乘以虚数单位i时，就得到位于纵轴上的纯虚数。因此，一个数乘以i，在几何上相当于逆时针旋转90（见图10）
如果把再乘以i，则又须再逆转90，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了。因为3i×I=3×exp（i；2）=…3
或exp（i；2）=…1
“i的平方等于…1”这个说法，比“两次旋转90（都旋时针进行）便变成反向”更容易理解。
这个规则同样适用于复数。把3＋4i乘以i，得到
（3＋4i）I=3i＋4exp（i；2）=3i…4=…4＋3i
从图10可立即看出，正好相当于这个点绕原点逆时针旋转了90。同样的道理，一个数乘上…i就是它绕原点顺时针旋转90。这一点从图10也能看出。
如果你现在仍然觉得虚数带有一张神秘的面纱，那么，让我们通过一个简单的，包含有虚数的实际应用的习题来把这张面纱揭去吧。
（录入者：乔治先生在下边给出的这个例子中的故事非常有意思，有兴趣的话大家可以自己做一下试验，这非常有助于你对复数的威力的理解）
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…25 12：06：00
☆☆☆☆☆☆☆☆☆
从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏。它是这样写着的：
乘船到北纬（＿）、西经（＿），即可找到一座荒岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树。还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩。然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数，到松树向左拐个直角再走这么多步。在这里也打个桩。在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆
这道指示很清楚、明白。所以，这位年轻人就租了一条船开往目的地。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树。但使他大失所望的是，绞架不见了。经过长时间的风吹日晒，绞架已糟烂成土，一点痕迹与看不出了
我们这位年轻的冒险家陷入了绝望。在狂乱中，他在地上乱掘起来。但是，地方太大了。一切只是白费力气。他只好两手空空，启帆回程。因此，那项宝藏恐怕还在那岛上埋着呢！
这是一个令人伤心的故事。然而，更令人伤心的是：如果这个小伙子懂得点数学。特别是虚数，他本来是有可能找到这项宝藏的。现在我们来为他找找看，尽管已经为时太晚，于他无补了。
我们把这个岛看成一个复数平面，过两棵树干画一轴线（实轴），过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11），并以两树距离的一半作为长度单位。这样，橡树位于实轴上的…1点上，松树则位于＋1点上。我们不晓得绞架在何处，不妨用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒象个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，应该是个复数，即
Γ=a＋bi
现在来搞点小计算，同时别忘记了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在Γ，橡树在…1，两者的距离和方位便为…1…Γ。同理，绞架与松树相距1…Γ。将这两段距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按上述规则把两个距离分别乘以…i和i。这样便得出两根桩的位置为：
第一根：（…i）＇…（1＋Γ）＇＋1=i（Γ＋1）＋1
第二根：（＋i）（1…Γ）…1=i（1…Γ）…1
（这一部分作者使用了向量减法，大家最好在纸上画一画，就明白这两个算式的意义了）
宝藏在两根桩的正中间，因此，我们应该求出上述两个复数之和的一半，即
（1/2）＇i（Γ＋1）＋1＋I（1…Γ）…1＇=（1/2）＇iΓ＋i＋1＋i…IΓ…1＇=（1/2）（2i）=i
现在可以看出，所表示的未知绞架的位置Γ已经在运算过程中消失了。不管这绞架在何处，宝藏都在i这个点上。
瞧，如果我们这位年轻的探险家能做这么一点点数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，他只要在图11中打处×一挖，就可以把宝贝弄到手了。
如果你还是不相信要找到宝藏，可以完全不知道绞架的位置，你不妨拿一张纸，画上两棵树的位置。再在不同的地方假设几次绞架的位置。然后按羊皮纸文件上的方法去做。不管做多少次，你一定总是得到复数平面中那个位置。
依靠…1的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。下一章在介绍爱因斯坦的思维和他的相对论时，我们将再讨论这一发现。
第二部分 空间、时间与爱因斯坦
第三章 空间的不寻常的性质
大家都知道什么叫空间，不过，如果要抠这个词的准确意义，恐怕又会说不出个所以然来。你大概会这样说：空间乃包含万物，可供万物在其中上下、前后、左右运动者也。三个互相垂直的独立方向的存在，描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的，即三维的。空间的任何位置都可利用这三个方向来确定。如果我们到了一座不熟悉的城市，想找某一家有名商号的办事处，旅店服务员就会告诉你：“向南走过五条街，往右拐，再过两条马路，上第七层楼。”这三个数一般称为座标。在这个例子里，坐标确定了大街、楼的层数和出发点（旅店前厅）的关系。显然，从其他任何地方来判别同一目标的方位时，只要采用一套能正确表达新出发点和目标之间的关系的坐标就行了。并且，只要知道新、老坐标系统的相对位置，就可以通过简单的数学运算，用老坐标来表示出新坐标。这个过程叫做坐标变换。这里得说明一句，三个坐标不一定非得是表示距离的数不可，在某些情况下，用角度当坐标要方便得多。
举例来说，在纽约，位置往往用街和马路来表示，这是直角坐标；在莫斯科则要换成极坐标。从城堡辐射出若干街道，环城堡又有若干条同心的干路。这时，如果说某座房子位于克里姆林宫正东北方向第二十条马路上，当然会很便当。
图12给出了几种用三个坐标表示空间中某一点的位置的方法，其中有的坐标是距离，有的坐标是角度。但不论什么系统，都需要三个数。因为我们所研究的是三维空间。
（录入者，这个图中给出了三种坐标，一种是直角坐标，一种极坐标，还有一种是双极坐标――似乎不很常见，据说在航海中很有用，这种坐标用某点与已知两点所成的角度来表示点的位置的，故坐标值是两个角度，很明显。它无法表示与已知的两点共线的所有点）
对于我们这些具有三维空间概念的人来说，要想象比三维多的多维空间是困难的，而想象比三维少的低维空间则是容易的。一个平面，一个球面，或不管什么面，都是二维空间，因为对于面上的任意一点，只要用两个数就可以描述。同理，线（直线或曲线）是一维的，因为只需要一个数便可以描述线上的各点的位置。我们还可以说，点是零维的，因为在一个点上没有第二个不同的位置。可是话说回来，谁对点感兴趣呢！
作为一种三维的生物，我们觉得很容易理解线和面的几何性质，这是因为我们能“从外面”观察它们。但是，对三维空间的几何性质，就不那么容易了，因为我们是这个空间的一部分。这个原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念，而一听说有弯曲的三维空间就大吃一惊。
不过，在讨论弯曲的三维空间之前，还是先来做几节有关一维曲线、二维曲面和普通三维空间的脑力操吧。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…25 12：22：00
２、不量尺寸的几何学
你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中，这是一门量度的科学，它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如，毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而，空间的许多最基本的性质，却根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。
现在举一个简单的典型拓扑学的例子，设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。
首先，十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条，那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样。事实上，我们可以取任何形状的闭曲面，就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时，上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几何学中，如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形，各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。
我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。
这样一来，我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。
我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。
数一数以后，我们得到下面的表。
┯┯┯┯┯
多面体名称 │ 顶点数Ｖ│ 棱数Ｅ │ 面数Ｆ│ Ｖ＋Ｆ │Ｅ＋２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
四面体 │ ４ │ ６ │ ４ │ ８ │ ８
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六面体 │ ８ │ １２ │ ６ │ １４ │ １４
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八面体 │ ６ │ １２ │ ８ │ １４ │ １４
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
二十面体 │ １２ │ ３０ │ ２０ │ ３２ │ ３２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
十二面体 │ ２０ │ ３０ │ １２ │ ３２ │ ３２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
古怪体 │ ２１ │ ４５ │ ２６ │ ４７ │ ４７
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前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式：
Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２
这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其它样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面。你会发现，结果还是一样。可见，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目。
这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理。
下面就是欧拉定理的证明，引自古朗特（Rurant）和罗宾斯（H。Robbins）的著作〖数学是什么？〗。我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的。
为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当