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为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会有所改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，V’…E＋F=1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，V…E＋F=2。
首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，Ｅ和Ｆ的数目都会增加。但由于每加一条对角线，Ｅ和Ｆ都增加１，因此V…E＋F仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15C）。在这个三角形化了的网络中，V…E＋F仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。
有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样，从，我们拿去了边和这个三角形的面，只留下顶点和两条边，从，我们拿去了平面、两条边和顶点。
在式的去法中，Ｅ和Ｆ都减少１，但Ｖ不变，因而V…E＋F不变。在式的去法中，Ｖ减少１，Ｅ减少２，Ｆ减少１。因而V…E＋F仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V…E＋F＝3…3＋1=1。我们已经知道，V…E＋F并不随三角形的减少而改变，因此，在开始的那个网络中，V…E＋F也应该等于1。但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面，因此，对于完整的多面体，V…E＋F=2。这就证明了欧拉的公式。
欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图14中那五种。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…25 12：23：00
如果把前面几页的讨论仔细推敲一下，你可能就会注意到，在画出图14上所示的“各种不同”的多面体，以及在用数学推理证明欧位定理时，我们都作了一个内在的假设，它使我们在选择多面体时受了相当的限制。这个内在假设就是：多面体必须没有任何透眼。所谓透眼，不是气球上撕去一块后所形成的形状。而是象面包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样。
这只要看图16就清楚了。这儿有两种不同的几何体，它们和图14所示的一样，也都是多面体。
现在我们来看看，欧拉定理对这两个新的多面体适用不适用。
在第一个几何体上，可数出16个顶点、32条棱和16个面；这样，V＋F=32，而E＋2=34，不对了。第二个有28个顶点、54条棱和30个面；V＋F=58；E＋2=56，这就更不对了。
为什么会这样呢？我们对欧位定理作一般证明时的推理对于这两个例子错在哪里呢？
错就错在；我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或气球，而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡胶制品。对于这类多面体，无法进行上述证明过程所必需的步骤－－“割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面。”
如果是一个球胆，那么，用剪刀剪去一块之后，就很容易完成这个步骤。对于一个轮胎，却无论如何也不会成功。要是图16还不能使你相信这一点，你找条旧轮胎动手试一试也可以！
但是不要认为对于这类较为复杂的多面体，Ｖ，Ｅ和Ｆ之间就没有关系了。关系是有的，说得科学一点，即对于环状圆纹曲面型的多面体，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ。而对于那种蜜麻花型的，则Ｖ＋Ｆ＝Ｅ－２。一般说来，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２－２Ｎ，Ｎ表示透眼的个数。
另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关，它是所谓“四色问题”。假设有一个球面划分成若干区域；把这球面涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即有共同边界的区域）不能涂上同一种颜色。问完成这项工作，最少需要几种颜色？很容易看出，两种颜色一般来说是不够用的。因为当三条边界交于一点时（比如美国的弗吉尼亚、西弗吉尼亚和马里兰三州的地图，见图17），就需要三种颜色。
要找到需要四种颜色的例子也不难（图17）。这是过去德国吞并奥地利时的瑞士地图。
但是，随你怎么画，也得不到一张非得用四种以上颜色不可的地图，无论在球面上还是在平面上都是如此。看来，不管是多么复杂的地图，四种颜色就足以避免边界两边的区域相混了。
不过，如果这种说法是正确的，就应该能够从数学上加以证明。然而，这个问题虽经几代数学家的努力，至今仍未成功。这是那种实际上已无人怀疑。但也无人能证明的数学问题的又一个典型实例、现在，我们只能从数学上证明有五种颜色就足够了。这个证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和数个国家碰到一块的三重、四重等等交点数而得出的。
这个证明过程太复杂，写出来会离题太远，在这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学的书中找到它，并借以渡过一个愉快的晚上（说不定还得一夜不眠）。如果有谁能够证明无需五种、而只用四种颜色就足以给任何地图上色，或研究出一幅四种颜色还不够用的地图，那么，不论哪一种成功了，他的大名就会在纯粹数学的年鉴上出现一百年之久。
说来好笑，这个上色问题，在球面和平面的简单情况下怎么也证不出来；而在复杂的曲面，如面包圈形和蜜麻花型中，却比较顺利地得到了证明。比如，在砚面包圈型中已经得出结论说，不管它怎样分划，要使相邻区域的颜色不至相同，至少需要七种颜色。这样的也做出来了。
读者不妨在费点脑筋，找一个充气轮胎，再弄到七种颜色的油漆，给轮胎上漆，使每一色漆块都和另外六种颜色漆块相邻。如果做到这一点，他就可以声称他对面包圈型曲面确实心里“有谱”了。
注：四色问题已经于八十年代初借助于计算机的帮助解决了。
３、把空间翻过来
到目前为止，我们所讨论的都是各种曲面，也就是二维空间的拓扑学性质。我们同样也可以对我们生存在内的这个三维空间提出类似的问题。这么一来，地图着色问题在三维情况下就变成了：用不同的物质制成不同形状的镶嵌体，并把它们拼成一块，使得没有两块同一种物质制成的子块有共同的接触面，那么，需要用多少种物质？
什么样的三维空间对应于二维的球面或环状圆纹曲面呢？能不能设想出一些特殊空间，它们与一般空间的关系正好同球面或环状面与一般平面的关系一样？乍一看，这个问题似乎提得很没有道理，因为尽管我们能很容易地想出许多式样的曲面来，但却一直倾向于认为只有一种三维空间，即我们所熟悉并在其中生活的物理空间。然而，这种观念是危险的，有欺骗性的。只要发动一下想象力，我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中所进述的空间大不相同的三维空间来。
要想象这样一些古怪的空间，主要的困难在于，我们本身也是三维空间中的生物，我们只能“从内部”来观察这个空间，而不能像在观察各种曲面时那样“从外部”去观察。不过，我们可以通过做几节脑筋操，使自己在征服这些怪空间时不致过于困难。
首先让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型。球面的主要性质是：它没有边界，但却具有确定的面积；它是弯曲的，自我封闭的。能不能设想一种同样自我封闭，从而具有确定体积而无明显界面的三维空间呢？
设想有两个球体，各自限定在自己的球形表面内，如同两个未削皮的苹果一样。现在，设想这两个球体“互相穿过”，沿外表面粘在一起。当然，这并不是说，两个物理学上的物体如苹果，能被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起。苹果就是被挤成碎块，也不会互相穿过的。
或者，我们不如设想有个苹果，被虫子吃出弯曲盘结的隧道。要设想有两种虫子，比如说一种黑的和一种白的；它们互相憎恶，因此，苹果内虫蛀的隧道并不相通，尽管在苹果的皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去。这样一个苹果，被两条虫子蛀来蛀去，就会像图18那样，出现互相紧紧缠结、布满整个苹果内部的双股通道。但是，尽管黑虫和白虫的隧道可以很接近，要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去，却必须先走到表面才行。如果设想隧道越来越细，数目越来越多，最后就会在苹果内得到互相交错的两个独立空间，它们仅仅在公共的表面上相连。
如果你不喜欢用虫子作例子，不妨设想一种类似纽约的世界博览会大厦这座巨大球形建筑里的那种双过道双楼梯系统。设想每一套楼道系统都盘过整个球体，但要从其中一套的一个地点到达邻近一套的一个地点，只能先走到球面上两套楼道会合处，再往里走。我们说这两个球体互相交错而不相妨碍。你和你的朋友可能离得很近，但要见见面、握握手，却非得兜一个好大的圈子不可！必须注意，两套楼道系统的连接点实际上与球内的各点没有什么不同之处，因为你总是可以把整个结构变变形，把连接点弄到里面去，把原先在里面的点弄到外面来。还要注意，在这个模型中，尽管两套隧道的总长度是确定的，确没有“死胡同”。你可以在楼道中走来走去，决不会被墙壁或栅栏挡住；只要你走得足够远，你一定会在某个时候重新走到你的出发点。如果从外面观察整个结构，你可以说，在这迷宫里行走的人总会回到出发点，只不过是由于楼道逐渐弯曲成球形。但对于处在内部、而且不知“外面”为何物的人来说，这个空间就表现为具有确定大小而无明确边界的东西。我们在下一章将会看到，这种没有明显边界、然而并非无限的“自我封闭的三维空间”在一般地讨论宇宙的性质时是非常有用的。事实上，过去用最强大的望远镜所进行的观察似乎表明了，在我们视线的边缘这样远的距离上，宇宙好象开始弯曲了，这显示它有折回来自我封闭的明显趋势，就象那个被蛀食出隧道的苹果的例子一样。不过，在研究这些令人兴奋的问题之前，我们还得再知道空间的其它性质。
我们跟苹果和虫子的交道还没有打完。下一个总是是能否把一只被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈。当然，这不是说把苹果变成面包圈的味道。而只是说样子变得一样；我们所研究的是几何学，而不是烹饪法。让我们取一只前面讲过的“双苹果”，也就是两个“互相穿过”并且表皮“粘连在一起”的苹果。假设有一只虫子在其中一只苹果里蛀出了一条环形隧道，如图19所示。记住，是在一只苹果里蛀的。所以，在隧道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而在隧道内则只有那个未被蛀过的苹果的物质。这个“双苹果”现在有了一个由隧道内壁构成的自由表面（图19a）。
如果假设苹果具有很大的可塑性，怎么捏就怎么变形。在要求苹果不发生裂口的条件下，能否把这个被虫子蛀过的苹果变成面包圈呢？为了便于操作，可以把苹果切开，不过在进行过必要的变形后，还应把原切口粘起来。
首先，我们把粘住这“双苹果”的果皮的胶质去除，将两个苹果分开（图19b）。用Ｉ和Ｉ‘这两个数字表示这两张表皮，以便在下面各步骤中盯住它们，并在最后重新把它们粘起来。然后，把那个被蛀出一条隧道的苹果沿隧道切开（图19c）。这一下又切出两个新面来，记之以和，，将来，还是要把它们粘回去的。现在，隧道的自由面显示出来了，它应该成为面包圈的自由面。好，现在就按图19d的样子来摆弄这几块零碎儿。现在这个自由面被拉伸成了老大一块了（不过，按照我们的假定，这种物质是可以任意伸缩的！）。而切开的面，，，的尺寸都变小了。与此同时，我们也对第二个苹果进行手术，把它缩成樱桃那么大。现在开始往回粘。第一步先把，，粘上，这很容易做到，粘成后如图19c。第二步把被缩小的苹果放在第一个苹果所形成的两个夹口中间。收拢两夹口，球面就和重新粘在一起，被切开的面和也再结合。这一来，我们就得到了一个面包圈，溜溜的，多么精致！
搞这些有什么用呢？
没有什么用，只不过让你作作脑筋操，体会一下什么是想象的几何学。这有助于理解弯曲空间和自我封闭空间这类不寻常的东西。
你大概还没有意识到过，你的身体也具有面包圈的形状吧。事实上，任何有生命的物体，在其发育的最初阶段（胚胎阶段）都经历过“胚囊”这一过程。在这个阶段，它呈球形，当中横贯着一条宽阔的通道。食物从通道的一端进入，被生命体摄取了有用成分以后。剩下的物质从另一端排出。到了发育成熟阶段，这条内部通道就变得越来越细。越来越复杂，但最主要的性质依然如故，面包圈型体的所有几何性质也没有改变。
好啦，既然你自己也是一个面包圈，那么，现在试试按照图１９Ａ的逆过程把它翻回去－－把你的身体（在思维中）变成内部有一条通道的双苹果。你会发现，你身体中各个彼此有些交错的部分组成了这个“双苹果”的果体，而整个宇宙，包括地球、月亮、太阳和星辰，都被挤进了内部的圆形隧道！
你还可以试画画看，看画成什么样子。如果你的成绩不错，那就连达利（SalvadoDali）本人也要承认你是超现实派的绘画权威了！（图20）
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…27 17：36：00
这一节已经够长了，但我们还不能就此结束，还得讨论一下左手系和右手系物体，以及它们写窨的一般性质的关系。这个问题从一副手套起最为便当。一副手套有两只。把它们比较一下就会发现（图21）它们的所有尺寸都相同，然而，两只手套却有极大的不同：你决不能把左手那只手套戴到右手上，也不能把右手那只套在左手上。你尽管把它们扭来扭去，但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。另外，在鞋子的形状上，在汽车的操纵系统（美国的和英国的）上和在许多其他物体上，都可以看到左手系和右手系的区别。
另一方面，有些东西，如礼帽，网球拍等许多物体，就不存在这种差别。没有人会蠢到想去商店里买几只左手用的茶杯；如果有人叫你找邻居去借一把左手用的活动扳手，这也纯粹是在捉弄人。那么，这两类物体有什么区别呢？你想一想就会发现，在礼帽和茶杯等一类物体上都存在一个对称面，沿着这个面可将物体切成两个相等的部分。手套和鞋子就不存在这种对称面。你不妨试一试，无论怎么切，你都不能把一只手套割成两个相同的部分。如果某一类物体不具有对称面，我们就说它们是非对称的，而且就能把它们分成两类－－左手系的与右手系的。这两系的差别不仅在手套这些人造的物体上表现出来，在自然界中也经常存在。例如，存在着两种蜗牛，它们在其它各个方面都一样，唯独给自己盖房子的方式不同：一种蜗牛的壳呈顺时针螺旋形，另一种呈逆时针螺旋形。就是在分子这种组成一切物质的微粒中，也象在左、右手手套和蜗牛壳的情况中一样，往往有左旋和右旋两种形态。当然，分子是肉眼看不见的，但是，这类分子所构成的物质的结晶形状和光学性质，都显示出这种不对称性。例如，糖就有两类，左旋糖和右旋糖；还有两类吃糖的细菌，每一类只吞吃与自己同类的糖，信不信由你。
从上述内容看来，要想把一个右手系物体（比如说一只手套）变成左手系物体，似乎是完全不可能的。真的是这样吗？能不能想象出某种可以实现这种变化的奇妙空间呢？我们从生活在平面上的扁片人的角度来解答这个问题，因为这样做，我们能站在较为优越的三维的地位上来考察各个方面。请看图22，图上描绘了扁片国－－即仅有两维的空间－－的几个可能的代表。那个手里提着一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”因为他只有“正面”而没有“侧身”。他旁边的动物则是一头“侧身驴”，说得更严格一点，是一头“右侧身驴”。当然，我们也可以画出一头“左侧身驴”来。这时，由于这两头驴都局限在这个面上，从两维的观点来看，它们的不同正如在三维空间中的左、右手手套一样。你不能使左、右两头驴头并头地叠在一起，因为如果要它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，其中就得有一头翻个肚皮朝天才行，这样，它可就四脚朝天，无法立足喽。
图22 生活在曲面上的二维“扁片生物”就是这个样子的。不过，这类生物很不“现实”。那个人有正面而无侧面，他不能把手里的葡萄放进自己的嘴里。那头驴子吃起葡萄来倒是挺便当，但它只能朝右走，如果它要向左去，就只好退着走。驴子倒是常往后退的，不过这毕竟不那么象样。
不过，如果把一头驴子从面上取下来，在空间中掉转一下，再放回面上来，两头驴子就都一样了。与此相似，我们也可以说，如果把一只右手手套从我们这个空间中拿到四维空间中，用适当的方式旋转一下再放回来，它就会变成一只左手手套。但是，我们这个物理空间并没有第四维存在，所以必须认为上述方法是不可能实现的。那么，有没有别的方法呢？
让我们还回到二维世界上来。不过，我们要把图22那样的一般平面，换成所谓的梅比乌斯（Mobius）面。这种曲面是以一个世纪以前第一个对这种面进行研究的德国数学家来命名的。它很容易得到：拿一长条普通纸，把一端拧一个弯后，将两端对粘成一个环。从图23上可看出这个环该如何做。这种面有许多特殊的性质，其中有一点是很容易发现的：拿一把剪刀平行于边缘的�