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一点是很容易发现的：拿一把剪刀平行于边缘的中线剪一圈（沿图23上的箭头），你一定会预言，这一来会把这个环剪成两个独立的环；但做一下看看，你就会发现你想错了：得到的不是两个环，而是一个环，它比原来那个长一倍，窄一半！
让我们看看，一头扁片驴沿莫比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1（图23）开始，这时看来它是头“左侧身驴”。从图上可以清楚地看出，它走啊走，越过了位置2，位置3，最后又接近了出发点。但是，不单是你觉得奇怪，连它自己也觉得不对劲，它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然，它能在面内转一下，蹄子又落了地，但这样一来，头的方向又不对了。
总之，当沿梅比乌斯面走一圈后，我们的“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。要记住，这是在驴子一直处在面上而从未取出来在空间旋转的情况下发生的。于是我们发现，在一个扭曲的面上，左、右手系物体都可在通过扭曲处时发生转换。图23所示的梅比乌斯面是被称作“克莱茵瓶”的更有一般性的曲面的一部分（克莱茵瓶如图23所示）。这种“瓶”有一个面，它自我封闭而没有明显的边界。如果这种面在四维空间内是可能的，那么，同样的情况也能在三维空间发生，当然，这要求空间有一个适当的扭曲。要想象空间中的梅比乌斯扭曲自然决非易事。我们不能象看扁片驴那样从外部来看我们自己的这个空间，而从内部看又往往是看不清的。但是，天文空间并非不可能自我封闭，并有一个梅比乌斯式扭曲的。
如果情况确实如此，那么，环游宇宙的旅行家将会带着一颗位于右胸腔的心脏回到地球上来。手套和鞋子制造商兴许能由简化生产过程而获得一些好处。因为他们只需制造清一式的鞋子和手套，然后把一半产品装入飞船，让它们绕行宇宙一周，这样它们就能套进另一边的手脚了。
我们就用这个奇想来结束有关不寻常空间的不寻常性质的讨论吧。
第四章 四维世界
１、时间是第四维
关于第四维的概念经常被认为是很神秘、很值得怀疑的。我们这些只有宽度、厚度和高度的生物，怎么竟敢奢谈什么四维空间呢？从我们三维的头脑里能想象出四维情景吗？一个四维的正方体或四维的球体该是什么样子呢？当我们说的是“想象”一头鼻里喷火、尾上披鳞的巨龙、或一架翼上设有游泳池和两个网球场的超级客机时，实际上只不过是在头脑中描绘这些东西果真出现在我们面前时的样子。我们描绘这种图象的背景，仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物体－－连同我们本身在内－－的三维空间。如果说这就是“想象”这个词的念义，那我们就想象不了出现在三维空间背景上的四维物体是什么样子了，正如同我们不可能将一个三维物体压进一个平面那样。不过且慢，我们「确实」可以在平面上画出三物体来，因而在某种意义，可以说是将一个三维物体压进了平面。然而，这种压法可不是用水压机或诸如此类的物理力来实现，而是用“几何投影”的方法进行的。用这两种方法将物体（以马为例）压进平面的差别，可以立即从图２４上看出来。
用类比的方法，现在我们可以说，尽管不能把一个四维物体完完全全“压进”三维空间，但我们能够讨论各种四维物体在三维空间中的“投影”。不过要记住，四维物体在三维空间中的投影是立体图形，如同三维物体在平面上的投影图形一样。
为了更好地了解这个问题，让我们先考虑一下，生活在平面上的二维扁片人是如何领悟三维立方体的概念的。不难想象，作为三维空间的生物，我们有一个优越之处，即可以从二维空间的上方、即第三个方向上来观察平面上的世界。将它“投影”到平面上。旋转这个立方体，可以得到各式各样的投影。观察这些投影，我们那些二维的扁片朋友就多少能对这个叫做“三维立方体”的神秘图形的性质形成某些概念。他们仅是观看投影，他们也会说出这个东西有八个顶点、十二条边等等。现在请看图１６，你将发现，你和那些只能从平面上琢磨立方体投影的扁片人一样处于困难的境地了。事实上，图中那一家人如此惊愕地研究的那个古怪复杂的玩艺，正是一个四维超正方体在我们这个普通三维空间中的投影。
仔细端详这个形体；你很容易发现；它与图25中令扁片人惊讶不止的图形具有相同的特征：普通立方体在平面上的投影是两个正方形；一个套在另一个里面（录入者：想象一下；使用点光源；我们把这个立方体想象成用铁丝做成的立方体框架；点光源在这个框架的一个面的正上方；投影面在正下方）；并且顶点和顶点都相连；超正方体在一般窨中的投影则由两个立方体构成；一个套在另一个里面；顶点也相连。数一数就知道；这个超正方体共有16个顶点；32条棱和24个面。好一个正方体啊；是吧？
让我们再来看看四维球体是什么样的。为此，我们最好还是先看一个较为熟悉的例子，即一个普通圆球在平面上的投影。不妨设想将一个标出陆地和海洋的透明球投射到一堵白墙上（图２７）。在这个投影上，两个半球当然重叠在一起，而且，从投影上看，美国的纽约和中国的北京离得很近。但这只是个表面印象，实际上，投影上的每一个点都代表球上两个相对的点，而一架从纽约飞到北京的收音机其投影则先移动到球体投影的边缘，然后再一直退回来。尽管从图上看来，两架收音机的航线相重合，但如果它们“确实”分别在两 个半球上飞行，那是不会相撞的。
这就是普通球体平面投影的性质。再发挥一下想象力，我们就不难判断出四维超球体的三维投影的形状。普通圆球的平面投影是两个相叠（点对点）、只在外面的圆周上连接的圆盘一样，超球体的三维投影一定是两个互相贯穿并且外表面相连接的球体。这种特殊结构，我们早在上一章讨论过了，不过那时是作为与封闭球面相类似的三维封闭空间的例子提出的。因此，这里只需再补充一句：四维球体的三维投影就是上一节讲到的两个沿整个外表皮长在一起的苹果（双苹果）。
同样地，用这种的方法，我们能够解答许多有关形体其他性质的问题。不过，无论如何，我们也决不能够在我们这个物理空间内“想象”出第四个独立的方向来。
但是，只要再多思考一下，你就会意识到，把第四个方向看得太神秘是毫无必要的。事实上，有一个我们几乎每天都要用的字眼，可以用来表示、并且也的确就是物理世界的第四个独立的方向，这个字眼就是“时间”。时间经常和空间一起被描绘我们周围发生的事件。当我们说到宇宙间发生的任何事情时，无论是说在街上与老朋友邂逅，还是说遥远星体的爆炸，一般都不只说它发生在何处，还要说出发生在何时。因此，除表示空间位置的三个方向要素之外，又增添了第四个要素－－时间。
再进一步考虑考虑，你还会很容易地意识到，所有的实际物体都是四维的：三维属于空间，一维属于时间。你所住的房屋就是在长度上、宽度上、高度上和时间上伸展的。时间的伸展从盖房时算起，到它最后被烧毁，或被某个拆迁公司拆掉，或因年久而坍塌为止。
不错，时间这个方向要素与其他三维很不相同。时间的间隔是用钟表量度的：嘀嗒声表示秒，当当声表示小时。而空间的间隔则是用尺子量度的。再说，你能用一把尺子来量度长、宽、高，却不能把这把尺变成一座钟来量度时间；还有，在空间里，你能向前、向后、向上走，然后再返回来；而在时间上却只能从过去到将来，是退不回来的。不过，即使有上述区别，我们仍然可以将时间作为物理世界的第四个方向要素，不过，要注意别忘记它与空间不太一样。
在选择时间作为第四维时，采用本章开头所提到的四维形体的方法较为便当。还记得四维形体，比如那个超正方体的投影是多么古怪吧？它居然有１６个顶点、３２条棱和２４个面！难怪图２６上的那些人会那么瞠目结舌地瞪着这个几何怪物了。不过，从这个新观点出来，一个四维正方体就只是一个存在了一段时间的普通立方体。如果你在５月１日用１２根铁丝做成一个立方体，一个月后把它拆掉。那么，这个立方体的每个顶点都应看做沿时间方向有一个月那么长的一条线。你可以在每个顶点上挂一本小日历，每天翻过一页以表示时间的进程。
现在要数出四维形体的棱数就容易了。在它开始存在时有１２条空间棱，结束时还有这样１２条，另外又有描述各个顶点存在时间的８条“时间棱”。用同样方法可以数出它有１６个顶点：５月１日有８个空间顶点，６月１日也有８个。用同样方法还能数出面的数目，请读者自己练习数一数。不过要记住，其中有一些面是这个普通立方体的普通正方形面，而其他的面则是由于原立方体由５月１日伸展到６月１日而形成的“半空间半时间”面。
这里所讲的有关四维立方体的原则，当然可以应用到任何其他几何体或物体上去，无论它们是活的还是死的。
具体地说，你可以把你自己想象成一个四维空间体，这很象一根长长的橡胶棒，由你出生之日 延续到你生命结束之时。遗憾的是，在纸上无法画出四维的物体来，所以 我们在图２９上用一个二维扁片人为例来表现这种想法。这里，我们所采取的时间方向是和扁片人所居住的二维平面垂直的。这幅图只表示出这个扁扁片人整个生命中一个很短暂的部分。至于整个过程则要用一根长得多的橡胶棒来表示：以婴儿开始的那一端很细，在很多年里一直变动着，直到死时才有固定不变的形状（因为死人是不动的），然后开始分解。
如果想要更准确一些，我们应该说，这个四维棒是由为数众多的一束纤维组成的，每一根是一个单独的原子。在生命过程中，大多数纤维聚在一起成为一群，只有少数在理性剪指甲时离去。因为原子是不灭的，人死后，尸体的分解也应考虑为各个纤维丝向各个方向飞去（构成骨骼的原子纤维除外）。
在四维时空几何学的词汇中，这样一根表示每一个单独物质微粒历史的线叫做“时空线”。同样，组成一个物体的一束时空线叫做“时空束”。
图３０是一个表示太阳、地球和彗星的时空线的天文学例子（这里把星体看成是点，否则应该认为是时空束）。如同前面所举的例子一样，我们让时间轴与二维平面（地球轨道平面）垂直。太阳的时空线在图中用与时间轴平行的直线来表示，因为我们这里假定太阳是不动的。地球绕太阳运动的轨道近似于圆形，它的时空线是一条围绕着太阳时空线的螺旋线。彗星的时空线先靠近太阳的时空线，然后又远离而去。
我们看到，从四维时空几何学的角度着眼，宇宙的历史和拓扑图形融洽地结合成了一体；要研究单个原子、动物或恒星的运动，都只需考虑一束纠结的时空线就行了。
２、时空当量
要把时间看作和空间的三维多少有些等效的第四维，会碰到一个相当困难的问题。在量度长、宽、高时，我们可以使用同一个单位，如１英寸、一英尺等。但时间既不能用英寸，也不能用英尺来量度。这时必须使用完全不同的单位。如分钟或小时。那么，它们怎样进行比较呢？如果面临一个四维正方体，它的三个空间尺寸都是１英尺，那么，应该取多长的时间间隔，才能使四个维相等呢？是１秒，还是１小时，还是一个月？１小时比１英尺长还是短？
乍一看，这个问题似乎毫无意义。不过，深入想一下，你就会找到一个比较长度和时间间隔的合理办法。你常听人说，某人的住处“搭汽车只需要二十分钟”某某地方“乘火车五个小时便可到达”。这里，我们把距离表示成某种交通工具走过这段距离所需要的时间。
因此，如果大家同意采用某种「标准速度」，就能用长度单位来表示时间间隔，反之亦然。很清楚，我们选用来作为时空的基本交换因子的标准速度，必须具备不受人类主观意志和主观物理环境的影响、在各种情况下都保持不变这样一个基本的和普遍的本质。物理学中已知的唯一能满足这种要求的速度是光在真空中传播的速度。尽管人们通常把这种速度叫“光速”，但不如说“物质作用的传播速度”更恰当些，因为『任何物体之间的作用力，无论是电的吸引力还是重力，在真空中的传播速度都是相同的』。除此之外，我们以后还会看到，『光是一切物质所能具有的速度的上限』，没有什么物体能以大于光速的速度在空间运动。（录入者：怎样理解“快子”？）
第一次测定光速的尝试是著名的意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei）在十七世纪进行的。他和他的助手在一个黑沉沉的夜晚到了佛罗伦萨郊外的原野，随身带着两盏有遮光板的灯，彼此离开几英里站定。伽利略在某个时刻打开遮光板，让一束光向助手的方向射去。助手已得到指示，一见到从伽利略那里射来的光，就马上打开自己那块遮光板。既然光线从伽利略那里到达助手，再从助手那里折回来都需要一定的时间，那么，从伽利略打开遮光板时起，到看到助手发回的光线，也应有一个时间间隔。实际上，他也确实观察到一个小间隔，但是，当伽利略让助手站到远一倍的地方再做这个实验时，间隔却没有增大。显然，光线走得太快了，走几路简直用不了多少时间。至于观察到的那个间隔，事实上是由于伽利略的助手不能在见到光线时立即打开遮光板造成的－－这在今天被称为反应迟误。
尽管伽利略的这项实验没有导致任何有意义的成果，但他的另一发现，即木星有卫星，却为后来首次真正测定光速的实验提供了基础。1675年，丹麦天文学家雷默（Olaus Roemer）在观察木星卫星的蚀时，注意到木星卫星消失在木星阴影里的时间间隔逐次有所不同，它随木星和地球之间的距离在各次卫星蚀时的不同而变长或变短。雷默当即意识到（你在研究图31B后也会看出），这种效应不是由于木星运动得不规则，而是由于当木星和地球距离不同时，所看到的卫星蚀在路上传播所需要的时间不同。从他的观测得出，光速大约为每秒钟十八万五千英里。难怪当初伽利略用他那套设备测不出来了，因为光线从他的灯传到助手那里再传回来，只需要十万分之几秒的时间啊！
不过，用伽利略这套粗糙的遮光灯所做不到的，后来用更精密的物理仪器做到了。在图31C上，我们看到的是法国物理学家斐索（Fizeau）首先彩的短距离测定光速的设备。它的主要部件是安在同一根轴两端上的两个齿轮，两个齿轮的安装正好使我们在沿轴的方向从一头看去时，第一个齿轮的齿对着第二个齿轮的齿缝。这样，一束很细的光沿平行于轴的方向射出时，无论这套齿轮处在哪个位置上，都不能穿过这套齿轮。现在让这套齿轮系统以高速转动。从第一个齿轮的齿缝射入的光线，总是需要一些时间才能达到第二个齿轮的。如果在这段时间内，这套系统恰好转过半个齿，那么，这束光线就能通过第二个齿轮了。这种情况与汽车以适当速度沿装有定时红绿灯的街道行驶的情况很类似。如果这套齿轮的转速提高一倍，那么，光线在到达第二个齿轮时，正好射到转来的齿上，光线就又被遮住了。但转速再提高时，这个齿又将在光束到达之前转过去。因此，注意光线出现和消失（或从消失到出现）所相应的转速，就能算出光线在两齿间传播的速度。为减低所需的转速，可让光在两齿轮间多走些路程，这可以借助图31c所示的几面镜子来实现。在这个实验中，当齿轮的转速达到每秒一千转时，斐索从靠近自己的那个齿轮的齿缝间看到了光线。这说明在这种转速下，光线从这个齿轮的齿缝到达另一个齿轮时，齿轮的每个齿刚好转过了半个齿距。因为每个齿轮上有五十个完全一样的齿。所以齿距的一半正好是圆周的百分之一，这样，光线走过这段距离的时间也就是齿轮转一圈所用时间的百分之一。再把光线在两齿间走的路程也考虑进来进行计算，斐索得到了光速为每秒300；000公里或186；000英里。这个结果与雷默考查木星的卫星所得到的结果差不多。
接着，人们又用了各种天文学方法和物理学方法，继两位先驱之后做了一系列独立的测量。目前，光在真空中的速度（常用字母c来表示）的最令人满意的数值是
c=299；776km/s
或
c=186；300英里/秒
在量度天文学上的距离时，数字一般都是非常大的，如果用英里或公里来表示，可能要写满一页纸，这时，用速度极高的光速作为标准就很便当了。因此，天文学家说某颗星离我们５“光年”远，就象我们说某地乘火车需要５小时一样。由于一年合31558000（录入者：应为31556926）秒，一光年就等于31558000X299776=9；460；000；000；000公里或5；879；000；000；000英里。采用“光年”这个词表示距离，实际上已把时间看作一种尺度，并用时间单位来量度空间了。同样，我们也可以把这种表示法反过来，得到“光英里”这个名称，意思是指光线走过１英里路所需要的时间。把上述数值代入，得出1光英里等于0。0000054秒。同理，１光英尺等于0。0000000011秒。这就回答了我们在上一节提出的那个四维正方体的问题。如果这个正方体的三个空间尺度都是１英尺，那么时间间隔就应该是0。0000000011秒。如果这个正方体存在了一个月的时间，那就应把它看作一根在时间方向上比其它方向长得非常多的四维棒了。
3、四维空间的距离
在解决了空间轴和时间轴上的单位如何进行比较的问题之后，我们现在可以问 ： 在四维时空世界中两点间的距离应该如何理解？要记住，现在每一个点都是空间和时间的结合，它对应于通常所说的“