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在解决了空间轴和时间轴上的单位如何进行比较的问题之后，我们现在可以问 ： 在四维时空世界中两点间的距离应该如何理解？要记住，现在每一个点都是空间和时间的结合，它对应于通常所说的“一个事件”。为了弄清这一点，让我们看看下面的两个事件。
事件I：1945年7月28日上午9点21分，纽约市五马路和第五十街交叉处一层楼的一家银行被劫。
事件II： 同一天上午9点36分，一架军用飞机在雾中撞在纽约第三十四街和五、六马路之间的帝国大厦第七十九层楼的墙上。
这两个事件，在空间上南北相隔十六条街，东西相隔半条街，上下相隔七十八层楼 ； 在时间上相隔十五分钟。很明显，表达这两个事件的空间间隔不一定要注意街道的号数和楼的层数，因为我们可用大家熟知的毕达哥拉斯定理，把两个空间点的坐标距离的平方和开方，变成一个直接的距离。为此，必须先把各个数据化成相同的单位，比如说用英尺表达出来。如果相邻两街南北相距200 英尺，东西相距800英尺，每层楼平均高12英尺，这样，三个坐标距离是南北3200英尺，东西400英尺，上下936英尺，用毕达哥拉斯定理可得出两个出事地点之间的直接距离为
sqrt（3200^2＋400^2＋936^2）=3360英尺
如果把时间自作第四个坐标的概念确实有实际意义，我们就能把空间距离3360英尺和时间距离15分钟结合起来，得出一个表示两事件的四维距离的数来。
按照爱因斯坦（Aibert Einstm）原来的想法，四维空间的距离，实际上只要把毕达哥拉斯定埋进行简单推广便可得到，这个距离在各个事件的物理关系中所起的作用 ， 比单独空间距离和时间间隔所起的作用更为基本。
要把空间和时间结合起来，当然要把各个数据用同一种单位表达出来，正如街道间隔和楼房高度都用英尺表示一样，前面我们已经看到，只要用光速作为变换因子 ，这一点就很容易办到了。这样，5分钟的时间间隔就变成800，000，000，OO－－“ 光英尺 “ 。如果对毕达哥拉斯定理作简单的推广， 即定义四维距离是四个坐标距离（三个空间的和一个时间的）的平方和的平方根，我们实际上就取消了空间和时间的一切区别，承认了空间和时间可以互相转换。
然而，任何人－－包括了不起的爱因斯坦在内－－也不能把一根尺子用布遮上，挥动一下魔棒，再念念“时间来，空间去，变”的咒语，就变出一只亮闪闪的新牌子闹钟来！
因此，我们在使用毕达哥拉斯公式将时空结合成一体时，应该采用某种不寻常的办法，以便保留它们的某些本质区别。
按照爱因斯坦的看法，在推广的毕达哥拉斯定理的数字表式中，空间距离与时间间隔的物理区别可以用时间坐标的平方项前的负号来加以强调。这样，两个事件的四维距离可以表示为三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后开平方。当然 ，首先得将时间坐标化成空间单位。
因此，银行抢劫案和飞机失事案之间的四维距离应该这样计算：
sqrt（3200^2＋400^2＋936^2…800000000000000^2） 。
第四项与前三项相比是非常大的，这是因为这个例子取自“日常生活”， 而用日常生活的标准来衡量时，时间的合理单位真是太小了。如果我们所考虑的不是纽约市内发生的两个事件，而用一个发生在宇宙中的事件作为例子，就能得到大小相当的数字了 ， 例如，第一个事件是1946年7月1日上午9分整在比基尼岛（太平洋西部的一个珊瑚岛）上有一颗原子弹爆炸，第三个事件是在同一天上午9点10 分有一块陨石落到火星表面；这样，时间间隔为540000000000光英尺，而空间距离为650，000000000英尺，两者大小相当。
在这个例子中，两个事件的四维距离是：
sqrt（（65×1O^10）^2…（54×10^10）^2）英尺=36×10^10英尺，在数上与纯空间距离和纯时间间隔都很不相同了。
当然，大概有人会反对这种似乎不太合理的几何学。为什么对其中的一个坐标不象对其他三个那样一视同仁呢？千万不要忘记，任何人为的描绘物理世界的数学系统都必须符合实际情况；如果空间和时间在它们的四维结合里的表现确实有所不同 ，那么，四维几何学的定律当然也要按它们的本来面目去塑造。而且，还有一个简单的办法，可以使爱因斯坦时空几何公式看来跟学校里所教的古老的欧几里得几何一样美好。这个方子是德国数学家闵科夫斯基（Hermann Minkovskij）提出的，做法是将第四个坐标看作纯虚数。你大概还记得在本书第二章讲述，一个普通的数字乘以sqrt（…1）就成一个虚数；我们还讲过，应用虚数来解几何问题是很方便的。
根据闵科夫斯基的提法，时间这第四个坐标不但要用空间单位表示，并且还要乘以sqrt（…1）。这样，原来那个例子中的四坐标就成了：
第一坐标：3200 英尺， 第二坐标：400 英尺，
第三坐标：936 英尺 ， 第四坐标：8×10＾11光英尺。
现在，我们可以定义四维距离是所有四个坐标距离的平方和的平方根了，因为虚数的平方总是负数，所以采用闵科夫斯基坐标的普通毕达哥拉斯表式在数学上是和采用爱因斯坦坐标时似乎不太合理的表达式等价的。
有一个故事，说的是一个患关节炎的老人，他问自己的朋友是怎样避免这种病的。
回答是：“我这一辈子每天早上都来个冷水浴。”
“噢，前者喊道，“那你是改患了冷水浴病喽！”
如果你不喜欢前面那个似乎患了关节炎的毕达哥拉斯定理，那么，你不妨把它改成虚时间坐标这种冷水浴病。
由于在时空世界里第四个坐标是虚数，就必然会出现两种在物理上有所不同的四维距离。
在上面那个纽约事件的例子中，两个事件之间的空间距离比时间间隔小 （用同样的单位），毕达哥拉斯定理中根号内数是负的，因此，我们所得到的是虚的四维距离；在后一个例子中，时间间隔比空间距离小，这样，根号内得到的是正数，自然意味着两个事件之间存在着实的四维距离。
如上所述，既然空间距离被看作实数，而时间间隔被看作虚数，我们就可以说：实四维距离同普通空间距离的关系比较密切；而虚四维距离则比较接近于时间间隔。在采用闵科夫斯基的术语时，前一种四维距离称为空距，后一种称为时距。
在下一章里，我们将看到空距可以转变为正规的空间距离，时距也可以转变为正规的时间间隔。然而，这两者一个是实数，一个是虚数，这个事实就给时空互变造成了不可逾越的障碍，因此，一根尺子不能变成一座时钟，一座时钟也不能变一根尺子。
1。 时空的相互转变
尽管数学在把时间和空间在四维世界中结合起来的时候，并没有完全消除这两者的差别，但可以看出，这两个概念确实极其相似。对于这一点，爱因斯坦以前的物理学是不甚了解的。事实上，各个事件之间的空间距离和时间间隔，应该认为仅仅是这些事件之间的基本四维距离在空间轴和时间轴上的投影（大家注意这句话，我觉得这话包含的意义非常深――笨猪），因此，旋转四维坐标系，便可以使距离部分地转变为时间，或使时间转变为距离。不过，四维时空坐标系的旋转又是什么意思呢 ？
我们先来看看图34a中由两个空间坐标所组成的坐标系。假设有两个相距为L的固定点。把这段距离投影在坐轴上，这两个点沿第一根轴的方向相距a英尺，沿第二根轴的方向相距b英尺。如果把坐标系旋转一个角度（图34）时，同一个距离在两根新坐标轴上的投影就与刚才不同，成为a’和b’了。不过，根据毕达哥拉斯定理，两个投影的平方和的平方根在这种情况下的值是一样的，因为这个数所表示的是那两个点间的真实距离，当然不会因坐标系的旋转而改变，也就是说
sqrt（a^2＋b^2）=sqrt（a’^2＋b’^2）
所以我们说，尽管坐标的数值是不定的，它们取决于所选择的坐标系，然而它们的平方和的平方根则与坐标系的选择无关。
现在再来考虑有一根距离轴和一根时间轴的坐标系。这时，两个固定点变成了两个事件，而两根轴上的投影则分别表示空间距离和时间间隔。如果这两个事件就是上一节所讲到银行抢劫案和飞机失事案，我们可以把这个例子画成一张图（图35a），它很类似于图34a，不过图34a上是两根空间距离轴 。那么，怎样才能旋转坐标轴呢？答案是颇出乎意料、甚至令人愕然的：你要想旋转时空坐标系，那就请上汽车吧。
好，假定我们真的在9月28日的那个多事之晨坐上了一辆沿五马路行驶的汽车。如果我们能否看到这些事件仅取决于距离，那么，从功利主义的观点出发，我们最关心的就是被劫的银行和飞机失事的地点离汽车有多远。
现在看看图35a，汽车的时空线和两个事件都画在在上面，你立刻会注意到，从汽车上观装到的距离，与从其他地方（比如站在街口的警察）所观察到的不相同。因为汽车是沿着马路行驶的，速度比方说为每三分钟过一个路口（这在繁忙的纽约交通中是司空见惯的），所以从汽车上看，两个事件的空间距离就变短了。事实上，由于在上午9点21分汽车正穿过第五十二街，这时离发生抢劫案的地点有两个路口之远；在飞机失事时（上午9点36分），汽车在第四十七街口，距出事地点有十四个路口之远。因此，在测量对汽车而言的距离时，我们就会断言说，抢劫案和失事案两地相距14－2=12个路口 而不是对城市建筑而言的 50－34＝16个路口。再看一下图35a，我们就会看出，从汽车上记录到的距离不能象过去一样从纵轴（警察的时空线）来计量，而应当从那根表示汽车时空线的斜线上来计量。因此，这后一根线就起到了新时间轴的作用。
把刚才说过的这些 “零七八碎 ”归纳一下，就是：从运动着的物体上观看发生的事件时，时空图上的时间轴应该旋转一个角度（角度的大小取决于运动物体的速度），而空间轴保持不动。
这种说法，从古典物理学和所谓“常识”的观点来看，尽可奉为不渝的真理，然而却和四维时空世界的新观念直接冲突，因为既然认为时间是第四个独立的坐标，时间轴就应该和与三个空间轴垂直，不管你是坐在汽车上，电车上，还是坐在人行道上！
在这个紧要关头，对这两种思想方法，我们只能遵循某一。或者保留那个旧有的时间与空间的概念，不再对统一的时空几何学作任何考虑；或者打破“常识”的老框也认定时间轴和空间轴一起旋转，从而使二者永远保持垂直（图35b）。
但是，旋转空间轴就意味着，从运动物体上观察到的两个事件的时间间隔 ，不同于从地面站上观察到的时间间隔，这就如同旋转时间轴在物理上意味着，两个事件的空间距离当从运动物体上观察时会具有不同的值（在上面例子中为12个路口和16 个路口）一样。因此，如果按照市政大楼的钟，银行抢劫案与飞机失事案相隔15分钟，那么，汽车上的乘客在他的手表上看到的就不是这样一个数字一一这可不是由于手表的机械装置不完善造成了手表走时不准，而是由于在以不同速度运动的物体上，时间本身流逝的快慢就是不同的，因此，记录时间的机械系统也相应地变慢了。不过在象汽车这样一低的速度下，时间变慢是微乎其微，简直是觉察不出来的。（这个现象在本章后面还要详细讨论。）
再举一个例子。设想一个人在一列行进的火车餐车上用饭，餐车上的侍者认为他是在同一个地方（第三张 桌子靠窗的位置）喝开胃酒和吃甜食的。但对于两个站在地面上从外向内张望的道岔工来说，一个正看到他喝开胃酒 ，另一个正看到他在吃甜食（西方人在就餐时往往先喝一点剌激食欲的开胃酒，最后一道食品是甜食，所以，这里的意思是说，整餐饭从头到尾都是在同一个地方吃的――译者）
）一一来说，这两个事件的发生地点则相距好几英里远。因此，我们可以说，一个观察者认为在同一地点和不同时间发生的两个事件，在处于不同运动状态的另一个观察者看来，却可以认为是在不同地点发生的。
从时空等效的观点出发，把上面话中的“地点”和“时间 ”两个词互换，就变成了：一个观察者认为在同一时间和不同地点发生的两个事件正在处于不同运动状态的另一个观察者看来，却可以认为是在不同时间发生的。把这些话用到餐车的例子时，那位侍者可以发誓说，餐车两头的两位乘客正好同时点燃了“饭后一枝烟”，而在地面上从车外向里看的道岔工却会坚持说，两人点烟的时间一先一后。
因此，一种观察认为同时发生的两个事件，在另一个观察者看来，则可认为它们相隔一段时间。
这就是把时间和空间看作仅仅是恒定不变的四维距离在相应轴上的投影的四维几何学，所必然要得出的结论。
2、以太风和天狼星之行
现在 ； 我们自己来问问自己：我们使用这种四维几何学的语言；是否仅仅为了证明在我们的旧的、相当不错的时空观念中引入革命性变化的正确性 ？
如果回答是肯定的；那我们就向整个古典物理学体系提出了挑战；因为古典物理学的基础；是牛顿在两个半世纪以前对空间和时间所下的定义，即“绝对的空间；就其本质而言或与任何外界事物无关的；它从不运动； 并且永远不变”；“绝对的、真实的数学时间，就其本质而论；是自行均匀地流逝的；与任何外界的事物无关。”不用说；牛顿在写这几句话的时候，自己并不认为他是在叙述什么新的东西； 更没想到它会引起争论；他只不过把正常人的头脑认为显然如此的时空概念用准确的语言表达出来罢了。事实上；人们对古典的时空概念的正确性是如此深信无疑；因此；这种概念经常被哲学家们当作是先验的东西；没有一个科学家 （ 更不用说门外汉了）曾认为过它们可能是错误的；需要重新审查；重新说明。既然如此；为什么现在又提出了这个问题呢 ？
答案是 ： 人们之所以放弃古典的时空概念；并把时间和空间结合成单一的四维体系；这并不是出自审美观的要求 ；也不是某位数学大师坚持的结果，而是因为在科学实验中不断发现了许多不能用独立的时间和空间这种古典概念来解释的事实。
古典物理学这座漂亮的似乎是永久性的城堡所受到的第一次震撼基础的冲击——一次松动了这精巧建筑物的每一块砖石 ； 撼倒了每一堵墙的冲击一一是美国物理学家迈克耳逊 （Albut Abratum Michdon ） 1887 年所做的一个实验引起的。这个实验看起来并不起眼；但所起的作用不啻约书亚的号角对于耶利哥的城墙的作用。迈克耳逊实验的设想很简单 ： 光在通过所谓 “ 光媒质以太——一种假设的、充满宇宙空间和一切物质的原子之间的均匀物质——时 ； 会表现出一定的波动性来。
向池塘里丢进一块石子；水波就向各个方向传播；振动的音叉所发出的声音也以波的方式向四方传送 ； 任何发亮的物体所发射出的光也是这样。水面上的波纹清楚地表明水的微粒在运动。声波则是空气或其他被声音穿过的物质在振动。但我们却找不出什么负责传递光波的物质媒介来。事实上；光的在空间中的传播显得如此轻易（与声音相比）； 以致使人觉得空间真是完全空虚的
不过，如果空间真是一无所有的话，硬说在本来无物可振之处有什么东西在振动 ； 岂不是太不合乎逻辑了吗 ？ 因此 ； 物理学家只好引用一个新概念“光媒质以太” ； 以便在解释光的传播时 ； 在“振动”这个动词前面有一个实体作主语。从纯语法角度来说 ； 任何动词都需要有一个主语 ； 但是——这个 “也是”可要使劲说出来——语法规则没有也不能告诉我们 ； 这个为了正确造句而引进的主语具有计么样的物理性质 ！
如果我们把“光以太”定义为传播光波的东西；那么； 我们说光波是在光以太中传播的；这倒是一句无懈可击的话；不过；这只是无谓的重复而已。光以太究竟是什么东西和光以太具有什么物理性质；这才是实质的问题。在这方面；任何语法也帮不了我们的忙。答案只能从物理学中去找。
在后面的讨论中；我们会看到；十九世纪的物理学所犯的最大错误；就在于人们假设这种光以太具有类似我们所熟知的一般物体的性质。人们总是提到光以太的流动性、刚度和各种弹性性质；甚至还提到内摩擦。这一来；光以太就有了这样的性质：一方面；它在传递光波时；是一个振动的固体；另一方面；它对天体的运动却没有丝毫阻力；显示出极完美的流动性。于是；光以太就被比作类似于火漆的物质。火漆是硬的； 在机械力的迅速冲击下易碎；但如果静置足够长的时间；它又会因自己的重量而象蜂蜜那样流动。过去的物理学设想光以太与火漆相似；并充满整个星际空间。它对于光的传播这样的高速扰动；表现得象坚硬的固体；而对于速度只有光速的几千分之一的恒星和行星来说；它又象液体一样被它们从前进的路上推开。
这种我们可称之为模拟的观点；当用于一种除名称以外一无所知的物质上；以试图判断它具有那些我们所熟悉的普通物质的性质时；从一开始就遭到巨大的失败。尽管人们作了种种努力；仍找不出对这种神秘的光波传播媒介的合理力学解释。现在；以我们所具有的知识；是容易看出所有这一类尝试错在何处的。事实上；我们知道；一般物质的所有机械性质都可追溯到构成物质的微粒之间的作用力。例如；水的良好流动性；是由于水分子间可作几乎没有摩擦的滑动；橡胶的弹性是由于它的分子很容易变形；金刚石的坚硬是由