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其是在试验设计中有重要的影响。
为了易于说明，我们先考虑有 3 种军衔和来自 3 个团的 9 名军官。用 1、
2、3 分别表示 3 种军衔，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示 3 个不同的团，这时，相应的问题
的解答是：
1 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
3 2 3
2 1 Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
2 3 1 Ⅱ Ⅲ Ⅰ
军衔阵列 团阵列
（1；Ⅰ） （2；Ⅱ） （3；Ⅲ）
（3；Ⅱ
） （1；Ⅲ） （2；Ⅰ）
（2；Ⅲ ） （3；Ⅰ） （1；Ⅱ）
上面军衔阵列和团阵列分别是由 3 个不同符号构成的 3 行 3 列的阵列（3
×3），其中每个符号在每行与每列恰好只出现一次，我们把这种阵列叫 3
阶拉丁方。而并置阵列中 32个有序对都是不同的（即并置后，所有可能的 9
种情况都出现了），称军衔阵列和团阵列是正交拉丁方。
那么，36 名军官问题就成了：是否存在 6 阶正交拉丁方呢？欧拉曾猜想，
阶数为 4k＋2（k 是正整数）的拉丁方，任何两个同阶的拉丁方都不是正交的。
容易证明 2 阶拉丁方不正交。1901 年法国数学家 Tarry 用穷举法证明了不存
在 6 阶正交拉丁方。直到 1959 年才有 3 位统计学家终于证明了，除了 2 阶和
6 阶外，其他情况都有解。欧拉的猜想中，除这两种情况外，其余都猜错了。
龟和鹤
龟和鹤都是长寿的动物。一天鹤爹与鹤子遇见了龟祖和龟孙，彼此谈起
了年龄。原来鹤爹的年龄是鹤子年龄的 2 倍，龟祖的年龄是龟孙年龄的 5 倍。
它们年龄之和如果乘上 3，等于 900 岁。如果再过 10 年，鹤族年龄的 5 倍加
上龟族的年龄也是 900 岁。问现在它们的年龄各是多少？
解答：设鹤子现在的年龄是 x，龟孙现在的年龄是 y。则鹤爹现年为 2x，
龟祖现年 5y，有方程：
3［（2x＋x）＋（5y＋y）］＝900
10 年以后，鹤子、鹤爹的年龄分别为 x＋10 和 2x＋10，龟孙、龟祖的年龄
分别为 y＋10 和 5y＋10，于是又有方程，
5［（x＋10）＋（2x＋10）］＋（y＋10）＋（5y＋10）＝900
联立两个方程，简化为：
5x＋2y
x＋2y =100
= 260
解得：
y x = 40
= 30
因此，鹤子现年 40 岁，鹤爹现年 80 岁，龟孙现年 30 岁，龟祖现年 150
岁。
乘车者的常识
有一个乘车者经常坐从东郊到西郊的公共汽车。一天，他嫌车太挤，就
沿着公共汽车行车路线走。这时，他发现对面来的公共汽车每隔 6 分钟遇见
一次，而背后开来的公共汽车每隔 12 分钟超过他一次。他心算了一下，就知
道，这条路线上的公共汽车是隔多少分钟发车一次了。你也能算出来吗？
解答：假设公共汽车的速度是 y，人的走路速度是 x，又设两次发车间隔
时间里，公共汽车行驶的路程为 S。
那么，在迎面见到公共汽车的情况下，每经过 S 距离的时间是 t1＝6 分钟，
S
并且
x ＋ y = t。
同样，在相同方向的情况下，每经过 S 距离的时间是 t2＝12 分钟，并且
S
y x = t。解联立方程组：
S
①
x ＋ y = t1
S
②
y x = h2
将①化简为：
x y 1
＋ = ③
S S t1
将②化简为：
y x 1
= ④
S S t2
③、④相加：
2y = 1 ＋ 1
S t1 t2
∴Sy = ＋ 1 1
t1 t2
∵t1 = 6；t2 = 12
∴Sy = 8
S
因为 正是每段间隔中所需的时间，即发车的间隔时间，所以每两个车
y
发车时间相隔 8 分钟。
两支蜡烛
停电时分，小曹点起了两支蜡烛。这两支蜡烛一般长，可不一般粗。粗
蜡烛可点 2 小时，细蜡烛可点 1 小时。来电以后，小曹吹灭了两支蜡烛，发
现粗蜡烛是细蜡烛长度的 2 倍。问停电时间有多少分钟？
解答：设停电时间为 x 小时。
粗蜡烛2小时点完，1小时可点1/ 2根，x小时可点去 根，还剩1
x x
2 2
根（即它剩下的长度）。
细蜡烛 1 小时点完，1 小时可点 1 整根，x 小时可点去 x 根（x 不到 1
根），还剩下的长度为 1…x。
x
于是：1… = 2（1…x）
2
解方程，得 x＝2／3 小时＝40 分钟
因此，停电时间为 40 分钟。
说容易也难
电视机厂的一个组装班组。已知工作天数比班组人数多 2，如此组装的
电视机总台数是 1001 台，问平均每人每天组装几台电视机？
解答：因为总台数＝平均台数×人数×天数，所以总台数等于 3 个因子相
乘。由于 1001＝13×11×7，仅仅这一种组合方式，所以根据题意 13 应是工
作天数，11 应是班组人数。剩下 7 就是平均每人每天组装的台数。
这道题如果用解方程的办法来做，实际上是一个三次方程。
要解三次方程，可不是件容易的事。在历史上还发生过一次辩论，就是
因为争夺谁是最先发现三次方程解法的。最后，由于历史的误会，只好木已
成舟地命名它为卡丹公式，它是这样讲的：
如果要解一个一般的三次方程：
ax3＋3bx2＋3cx＋d＝0
只需要把方程转换为另一个三次方程：
y3＋3py＋2q＝0
其中：
x = y b
a
p = c b2
a a2
2q = 2 b3 bc d
a3 3a2 ＋ a
这时，可求得 y 的解：
y = q ＋ q2 ＋p3 ＋3 q q2 ＋p3
3
b
由y的解，再通过x = y… ，转换成x的解。
a
卖花生仁
两个农村姑娘到集市去卖花生仁，她们一共带了 50 斤花生仁。回村的路
上，她们交谈着行情。原来她们一个带的花生仁多，一个带的少，但卖了相
同多的钱。大妞说：“若是我有你那么多花生仁，我能卖得 81 元钱。”二妮
说：“若是我有你那么多花生仁，我能卖得 36 元钱。”问两个姑娘各带了多
少斤花生仁？她们每人 1 斤花生仁各卖多少钱？由于大妞带的少，她们无形
中少赚了多少钱？
解答：假设二妮带的花生仁是大妞的 m 倍，既然两人赚得的钱数相等，
一定是大妞卖的价格贵 m 倍。这样，如果开始两人把花生仁交换过来，大妞
花生仁多 m 倍、价格又高 m 倍，她所卖得的钱就要高 m2倍，由此可得：
m2 = 81 9
=
36 4
m = 3
2
现在一共是 50 斤，可知，大妞带了 20 斤，二妮带了 30 斤。
大妞 30 斤能卖得 81 元，她的卖价为 2．7 元／斤；二妮 20 斤可卖得 36
元，她的卖价为 1．8 元／斤。
假如对换以后，大妞卖得 81 元，二妮卖得 36 元，比实际可多赚：
（81＋36）…（2．7×20＋1．8×30）＝9 元
因此，无形中少赚 9 元钱。
你来当裁判
有一块土地南北长 a 米，东西宽 b 米，是一个矩形。这块土地分给甲、
乙两人承包。甲负责东西两边的绿化，乙负责南北两边的绿化。显然甲、乙
有意见，因为 a≠b，他们植树的工作量不一样。
那么，怎么让他们植树的长度一样呢？有人说：“把矩形的周长平均一
下，一人一半。”也有人说：“还不如把地重新分过，还是那么大面积，换
成正方形就行了。”
请你公正裁判一下，到底哪种办法更合理？而且对甲、乙两人都有好处？
解答：这里先给大家介绍一下两种平均值的概念：算术平均值和几何平
均值。假如有a、b两数，它们的算术平均值是a ＋ b ，它们的几何平均值是 ab，
2
而且可以证明算术平均值总是大于或等于它的几何平均值。证明如下：
a＋ b 1
ab = （a ＋ b 2 ab）
2 2
= （ a b）2
1
2
因为任何数的平方大于等于零
a＋ b ab = （ a b）2 ≥0
1
∴
2 2
a ＋ b
≥ ab
2
对于本题来讲，第一种办法就是用算术平均值，周长为 2（a＋b），一人一半
为 a＋b，也就是在矩形四周找两个分界点，使大家都占 a＋b 的长度。
第二种办法是几何平均值，在保证土地面积不变的条件下，改变矩形的
边长，成为正方形，这时正方形边长为 ab。
由上述证明可知：a ＋b≥ ab，所以第二种平均办法对甲、乙都有利。
一家人的年龄
小康的一家 3 口人，女儿、妈妈和爸爸的年龄分别能被 3、4、5 整除；
而明年，他们的年龄又分别能被 4、5、6 整除，13 年以后，女儿上了高中，
全家的年龄之和也闯过了 100 大关。问今年小康一家人的年龄各是多少？
解答：设女儿年龄为 x，妈妈年龄为 y，爸爸年龄为 z。
x＝3a，y＝4b，z＝5c（a、b、c 为大于 0 的正整数）
并且明年又分别被 4、5、6 所整除，故：
3a＋1＝4a＇，4b＋1＝5b＇，5c＋1＝6c＇（a＇、b＇、c＇为大于 0 的正整数）
可以得到一组相应的关系：
3a＋1＝4a ＇ 4b＋1＝5b ＇ 5c＋1＝6c ＇
a＝1 a ＇＝1 b＝1 b ＇＝1 c＝1 c ＇＝1
a＝5 a ＇＝4 b＝6 b ＇＝5 c＝7 c ＇＝6
a＝9 a ＇＝7 b＝11 b ＇＝9 c＝13 c ＇＝11
a＝13 a ＇＝10 b＝16 b ＇＝13 c＝19 c ＇＝16
这时，女儿、妈妈、爸爸的年龄可以由
x＝3a，y＝4b，z＝5c 来决定。有以下组合：
x y z
3 4 5
15 24 35
27 44 65
39 64
51
由于女儿年龄尚小，13 年以后正读高中，故取 x＝3，而 13 年后三人年龄
闯过 100 大关，目前其年龄之和大约在 100…3×13＝61 左右，故应取 y＝24，
z＝35。
最后正确答案是：女儿 3 岁，妈妈 24 岁，爸爸 35 岁。
丢番都的年龄
丢番都是一个数学家，他生活在公元 3 世纪的古希腊。在他的墓碑上有
着一个谜语方程，它的谜底就是数学家的寿命。墓碑是这样写的：
“在这里长眠的是丢番都，他生命的 1／6 是童年，再过了生命的 1／12，
他成为青年，并结了婚，这样度过了一生的 1／7，再过 5 年，他有一个儿子，
但儿子只活了他寿命的一半，以后，他在数学中寻求安慰，度过了 4 年，终
于也结束了他的一生。”
请你算一算，丢番都活了多少岁？
解答：设他活了 x 岁
列方程：
1x 1 1 1
＋ ＋ x ＋ 5＋ ＋ 4 = x
6 12x 7 2
14x＋7x＋12x ＋42x ＋ 9 = x
84
75＋756 =84x
9x = 756
x = 84
丢番都活了 84 岁。
庞贝古城
庞贝是意大利的古城，它位于维苏威火山东南麓。它全盛时期到火山爆
发把它湮没，正好是横跨公元前后相同的年数。原来人们都不知道有这么一
个古城，在挖掘的那年，才发现庞贝已被火山爆发湮没了 1669 年，而挖掘的
工作一直延续了212年，到挖掘结束后，证实庞贝城最繁华的时期已相距2039
年。请问：庞贝城全盛时是哪年？火山爆发把它湮没又是哪年？挖掘工作又
是从哪年到哪年？
解答：设庞贝城全盛时为公元前 x 年，由于它横跨公元前后，火山爆发
把它湮没在公元后 x 年。
设挖掘工作从公元 y 年到 z 年，则
y…x =1669 ①
z＋ x = 2039 ②
z…y = 212 ③
由①＋②，得
y＋z＝3708 ④
由③、④联立，得 z＝1960
由此，y＝1748
x＝79
所以，庞贝城全盛时为公元前 79 年，火山爆发把它湮没在公元后 79 年，
挖掘工作从公元 1748 年一直延续到 1960 年。
转让摩托车
甲花了 8000 元买了一辆摩托车，两年后，他转让给乙，要乙交付 9000
元。乙很不满意：“都用了两年了，还长了 1000 元，真不应该。”甲道出了
苦衷：“其实，我还亏了本了呢！你想，我要交税牌的钱，两年来还要修车，
花了不少钱呢！告诉你吧！我亏的本正好是 1／6 的卖价加上 1／3 的交税和修
车费。”你想想，甲亏卖了多少钱？
解答：设交税和修车一共用 x 元
9000 x
＋ = （8000 ＋ x） 9000
6 3
x
1500＋ = x1000
3
2
3x = 2500
x = 3750
实际上，甲交税和修车花了 3750 元，亏卖的钱数为：
（8000＋3750）…9000＝2750
甲亏卖了 2750 元。
蛋铺的生意
有一家小蛋铺，主要出售鸡蛋、鸭蛋和鹅蛋。鸡蛋 1 元 5 角一打，鸭蛋
1 元 8 角一打，鹅蛋 2 元 6 角一打（注：一打蛋是 12 个）。有一位顾客，身
边只带了 1 元 1 角，他能买几种蛋、几个蛋？
解答：假设可买鸡蛋 x 个，鸭蛋 y 个，鹅蛋 z 个。
有方程：1。50 x＋ 1。80y 2。60z
＋ = 1。10 ①
12 12 12
化简得：15x＋18y＋26z＝132 ②
∵132＝3×44＝4×33
∴②的解有两种形式：
（1）x＝0 y＝z＝3
（2）z＝0 x＝y＝4
由此，1 元 1 角可以买 3 个鸭蛋和 3 个鹅蛋，或者买 4 个鸡蛋和 4 个鸭
蛋。
四通八达
这里要传授给你一个秘决，只要你领会了，今后你遇到这一类问题，你
会感到四通八达、迎刃而解了。
假如你遇到这样一个问题：求 3 个整数 a、b、c，使其满足 a3＋b3＝c4，
这时，你该怎么办？
最好的办法是，等式两边同除以 c3，于是
c a 3 ＋ = c
b 3
c
a b
令A = ，B = ，则
c c
c＝A3＋B3
你可以任意设 A 和 B 两个整数，从而求得 c，进而知 a、b，问题解决了。
举例：设 A＝2，B＝3，得
c＝A3＋B3＝23＋33＝35
∵a＝cA＝70，b＝cB＝105
∴703＋1053＝354
这类问题可以推广到：
（1）a3＋b3＋c3＝R4
a3＋b3＋c3＋d3＝R4，等等。
（2）a2＋b2＝c3 a4＋b4＝c5 a5＋b5＝c6，等等
为了使你熟练这种办法，请你举一个例子能满足 a2＋b2＋c2＝d3。
解答：将等式变为d ＋ a ＋ d = d
a 2 b 2 c 2
a b c
令A = ，B = ，C =
d d d
且 A＝1，B＝2，C＝3
d＝A2＋B2＋C2＝12＋22＋32＝14
由此，a＝14，b＝28，c＝42，
∴142＋282＋422＝143
各自为政
在现代工业中要求产品标准化，因为过去各自为政的局面会带来许多麻
烦。可以举一个实例：有甲、乙、丙、丁、戊 5 个工厂生产的电线规格都不
一样，即每一盘电线的长度都不相／同。现在要从变电站 A 往居民小区 B 拉两
根供电干线。若用甲厂的产品 2 盘不够，还得搭上 1 盘乙厂的；若用乙厂的
3 盘也不够，还得搭上 1 盘丙厂的；若用丙厂的 4 盘也不够，还得搭上 1 盘
丁厂的；若用丁厂的 5 盘还不够，还得搭上 1 盘戊厂的；若用戊厂的 6 盘也
是不够，还得搭上 1 盘甲厂的。你看，不按统一的标准，有多噜嗦。请你只
好耐心一点计算一下各家工厂每盘电线的长度，以及 A、B 两地的距离是多
少？（已知每盘电线都是以整数来盘绕的，A、B 两地干线的总长度也正好是
个整数米，求最小的一组解。）
解答：设甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线每盘长 x、y、z、u、v 米，
A、B 两地所用干线的总长度为 w 米。
根据题意，列出方程组：
2x＋y＝w ①
3y＋z＝w ②
4z＋u＝w ③
5u＋v＝w ④
6v＋x＝w ⑤
这是一个不定方程组，即 5 个方程，要求 6 个未知数。
由 3×①…②，得：6x…z＝2w ⑥
由 4×⑥＋③，得：24x＋u＝9w ⑦
由 5×⑦…④，得：120x…v＝44w ⑧
由 6×⑧＋⑤，得：721x＝265w
w 可以有许多解，但最小的一组解为：x＝265，w＝721。代入①、②、③、
④，可求得：
y＝191，z＝148，u＝129，v＝76
因此，甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线规格，每盘电线分别是 265
米、191 米、148 米、129 米、76 米，A、B 两地所用的干线总长度为 721 米，
A、B 两地距离为 360．5 米。
马克思与数学
马克思是精通数学的，他在《数学手稿》中，曾提出解不定方程的例子：
有 30 个人，其中有男人、女人和小孩。他们在一家小饭馆里就餐共花费
了 50 先令；知道每个男人花 3 先令，每个女人花 2 先令，每个小孩只花 1
先令。问男人、女人和小孩各有多少？
你知道马克思是怎么算的吗？
解答：
设男人、女人、孩子分别有 x、y、z 人，列出方程：
x＋y＋z＝30 ①
3x＋2y＋z＝50 ②
由②式减①式，得
2x＋y＝20 ③
③式代入②，得
z…x＝10 ④
∵x≥0，由④式知：
z≥10 ⑤
由③式
y＝20…2x
x≤10
列表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
z 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
因此这 10 组解都满足本题的要求。显然是一个典型的不定方程。
趣味几何
意大利著名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语
言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是
圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由 36 个小方格组成的正方形，如图所示，放着 4 个黑子和 4 个白子。
现在要把它分割成形状大小都相同的 4 块，并使每一块里都有一个黑子和一
个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图（A）
但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题
要求 4 块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他 3 块都要做同样的割
开，如图（B）。然后再将原来的分割线去掉一部分。如�