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要求 4 块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他 3 块都要做同样的割
开，如图（B）。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的 1／3，
则黑子就会连成一片；如果去掉中间的 1／3，又会有两个白子连在一起。
因此只可去掉靠边上的 1／3，如图（C）。
现在只需要把左边两个白子分开。显然，只要将 4 条短的分割线延长到
边，就能达到目的，如图（D）。到此，图中的 6 条分割线都不能再延长，只
能沿折线分割，成为符合要求的图（E）。
节能灶
便民小吃店准备改进炉灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直
径是小蜂窝煤直径的 2 倍，3 个大蜂窝煤垒起的高度与 4 个小蜂窝煤垒起的
高度相等。
假如砌的炉灶采用 3 块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？
如果按同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？
解答：假设大蜂窝煤半径为 R，高度为 b，小蜂窝煤半径为 r，高度为 a，
则：
R＝2r，3b＝4a
大蜂窝煤的体积为πR2·b，小蜂窝煤的体积为πr2·a
∴πR2 b = π（2r）2 a 3
4
= 16 πr2 a
3
即 3πR2·b＝16πr2·a
由此可知，3 个大蜂窝煤的体积等于 16 个小蜂窝煤的体积，3∶16 也是
它们重量的关系。
由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所
以要砌放 3 块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放 16 块小蜂窝煤的炉灶，如同
图上所示的两种炉膛内的蜂窝煤全部燃烧（令中间小孔不计），其燃烧面积
应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于 16 块小蜂窝煤，燃烧
表面积之和为：
SA＝4×4×（πr2＋2πra）
＝16πr2＋32πra
3 块大蜂窝煤，其燃烧表面积为：
SB＝3×（πR2＋2πR·b）
＝3πR2＋6πRb
3
∵R = 2r；b = a
4
∴SB = 3π（2r）2 ＋ 6π（2r）43a
= 12πr2 ＋16πra
∴SA＞SB
由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积
适中，烧得慢，省煤。
影子部队
数学大军中有一支劲旅，称做“影子部队”。它就是“三角函数”，因
为它离不开角度，它总是跟随着角度，像它的影子一样。
这天，影子部队随着角度观光了三角形博览会。角度是这里的常客，它
也很自负，它说：“任何△ABC，三个内角和为 180°。”说完没有人理它，
它又说：“△ABC 若是直角三角形，那么 Rt∠C＝∠A＋∠B。”这时影子部队答
了话：“凡是有你的地方，就有我存在。至于△ABC 若满足下列条件：
sinC = sinA ＋ sinB
cosA ＋ cosB
则△ABC 一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明：先设△ABC 为任意三角形，有 A＋B＋C＝180°
A ＋ B B
2sin cos A
∴右式 = 2 2
2cosA ＋ B cos A B
2 2
sin180° C cosC
= 2 = 2
cos180° C C
sin
2 2
左式 = 2sinC cosC
2 2
∴2sinC cosC = cosC
2
2 2 C
sin
2
∵cosC ≠0
2
C
∴2sin2 = 1
2
C 2
sin =
2 2
∵ = 45°
C 即 C = 90°
2
所以△ABC 为直角三角形。
巷中行
有一个小巷，本来就不宽，充其量只有 5 米，却遇上修理房屋。巷内架
起了两个梯子，一个梯子长 8 米，另一个梯子长 7 米。架起来后，行人走到
那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍
没有？
解答：设巷宽 DB＝5 米，两个梯子 AB＝8 米，CD＝7 米
令 EF＝x，FB＝x
EF DF
∵ BC DB；
=
BC = CD2 DB2 ；
DF = DB y
x 5 y
∵ = ∴
72 52 5
同理：
EF FB
=
AD DB
AD = AB2 DB2
x y
∴ =
82 52 5
由①、②式，求得：
5 y y
72 52 = 82 52
5 5
10 6 2 6y = 39y
10 6
y = = 24。5=2（米 ）
2 6 ＋ 39 12。2
又
x y
=
82 52 5
39
x = y
5
x= 6。25× 2=2。5（米）
5
由此可见，两梯子交叉点离地面约有 2．5 米高，因此并不影响行人通过。
截去多少
有三角形、平行四边形和 1／4 的圆形（或称 90°的扇形），它们高度相
等。现在在高度一半处，与底边平行地截过去，截下一个小的三角形、平行
四边形和半个弓形，问截下部分是整体面积的几分之一？
解答：三角形截下部分是整体的 1／4，因为小三角形的边和高都是原来
的 1／2，其面积是原来的（1／2）2。
平行四边形截下的部分为整体的一半，即 1／2。
半弓形的面计算如下：
扇形ABC的面积 = πR2
1
6
1 R 3 3
三角形DBC的面积 = × × R = R2
2 2 2 8
半弓形 ADC 的面积＝扇形 ABC 的面积…三角形 BDC 的面积：
πR2 3 R2
6 8
扇形ABE的面积 = πR2
1
4
πR2 3
半弓形的面积 R2
= 6 8 2 3
3 2π =0。382
90°扇形的面积 πR2
4
园丁的难题
公园里有一个圆形的花圃，在它外面有一个水泵。为了浇花的需要，又
兼顾花圃外用水的方便，园丁想拉一条直的水管，使它在圆内部分的长度等
于圆外部分的长度。可是，这根水管应该怎样拉呢？
假设 AC 是符合愿望的水管，那么
CB＝BA
连接 OB、OC，并将 CO 延长与圆周交 D，连接 AD。
∵CB＝BA，OC＝OD＝r
∴OB∥DA
△COB∽△CDA
OB = CO = r
DA CD 2r
DA＝2OB＝2r
因此，只需以 A 点为圆心，2r 为半径画弧交花圃圆周于 D。连接DO 并交
圆周于 C，连接 AC 即为设水管的位置。
值得注意的是：一般情况可以有两个解，分设在左右两侧。但也有唯一
解的情况，那是 A 点与圆心连线以后，该连线的长度正好等于 3r。当 A 点与
圆心连线大于 3r 时，本题无解。
正方形的维纳斯
据说，著名的维纳斯雕像之所以美，是因为她的上半身和下半身的长度
是按黄金比分配的。为此，我们取一个正方形 ABCD，现在作一个半圆，使它
的直径正好在正方形一边 CD 的延长线上，圆周正好通过正方形另两个顶点 A
和 B，此时直径为 MN。那么 C 点把 DN 黄金分割，D 点把 MC 黄金分割。
因为 MN 为半圆的直径，所以
BC2＝MC·CN ①
∵ABCD 为正方形
∴BC＝DC
DC2＝MC·CN ②
由于图形的对称性，所以
MD＝CN
MC＝DC＋MD＝DC＋CN ③
由②式和③式，得
DC2＝（DC＋CN）·CN
∴CN = DC
DC DN
因此 C 为 DN 的黄金分割点，同样可以证明 D 为 MC 的黄金分割点。
丰收时节
在喜庆丰收的时候，用编好的苇席围起来做成粮囤。甲、乙、丙三人用
同样长的苇席，甲围成一个正三角形，乙围成一个等腰直角三角形，丙围成
一个圆形。那么，他们谁围的面积大？如果苇席同样高的话，谁围的粮囤存
放的粮食多？
假设苇席的长度为 1 米，正三角形边长为 a，等腰直角三边为 b，圆半径
为 r。
（1）正三角形中：
3a＝1
∴a = 1
3
a 3
S = a = 3a2
2 2 4
4 3
31 2
= = 3 =0。0481
36
（2）等腰直角三角形中：
2b＋ 2b = 1
∴b = 1
2 ＋ 2
S = b2 = 12 = 3 2 2 =0。0421
b 2（2 ＋ 2）2 4
（3）在圆中：
2πr＝1
1
∴r = 2π
S = πr2 = πr2 = π2 =
1 2 1
π 4π =0。07912
所以，在周长相等的情况下，圆的面积最大，正三角形 其次，等腰直角
三角形最小。自然，搭起的粮囤大小也是这样的次序了。
折纸的面积
一张等腰直角三角形的白纸，用 3 种折法：（1）A 点折到 B 点处，形成
一个三角形 DCB；（2）A 点折到 C 点处，形成一个梯形 EDBC；（3）A 点折到
BC 边的中点 F 点处，形成一个不规则四边形 GDBC，这 3 个图形，面积的变化
情况是怎样的呢？
（1）设等腰直角三角形ABC直角边长为a，△ABC面积为 a2，则 1
2
1 1
△DBC的面积 = △ABC的面积 = a2
2 4
（2）∵△AED的面积 = AE·ED = 2a
1 1 1 2
2 2
= a2
1
8
∴梯形EDBC的面积 = △ABC的面积 …△AED的面积
= a2 a3 = a3
1 1 3
2 8 8
（3）∵GA＝GF GA＝AC…GC
设 GC＝x GA＝GF＝a…x
GF2＝GC2＋CF2
（a x）2 = x2 ＋ 2a 1 2
a2 ＋ x2 2ax = x2 ＋ a2 1
4
1
2ax = a2 a2
4
2x = a 3
4
3
x = a
8
∴AG = a a = a
3 5
8 8
在△DFB 中，设 DF＝z，则 AD＝z
DB = 2a z BF = a
2
∵DF2＝DB2＋BF2…2DB·BF·cos45°
∴z2 = （ 2a z）2 ＋2a 2（ 2a z）
1 a 2 2
2 2
z2 = 2a2 ＋z2 2 2az＋ a2 a2 ＋
1 2
za
4 2
5a2 323
= az
4
z = 5 2
a
12
1
△AGD的面积 = ·AD·AG·cos45°
2
= 5 2 5 2
a = 192a2
25
32 12
∴四边形GDBC的面积 = △ABC的面积…△AGD的面积
= a2 =
1 25 71
=
2 192a2 192a2
如果令原△ABC面积为S0，则
1
（1）△DBC的面积 = S0
2
3
（2）梯形EDBC的面积 = S0
4
71
（3）四边形GDBC的面积 = 192S0
擀面杖的学问
你有没有细心地注意过：擀面杖为什么做成中间较粗，两头较细？你又
是否发现：擀面条的时候，为什么要两头用劲擀，而不是在中间用劲擀？
看来这是生活中的小事，但里面却有着数学的道理呢！
大家知道：擀面从数学上来讲，就是要展开成一个平面。要展开得平平
的，就一定要防止形成曲面。你看，有的人不会擀面，擀出来的面不均匀，
十分难看。
如果擀面杖是一样粗，那么由于两只手不可能在擀面杖上各个部位用的
劲儿完全一样，这就容易发生翘面现象，而且等粗的擀面杖在向前推滚的时
候，使两层面片之间接触非常紧密，以至没有相互移动的余地，容易粘住。
当擀面杖两头稍细时，假如光是中间用劲，同样也适得其反，因为中间
用劲，中间部位的平面展得大，两端展得小，面片就会像荷叶一样，从两边
向中间卷起来，这就成了一个非展开面。
只有在两头用劲擀时，使两头细的部位展开的面大一些，而中间部位由
于擀面杖本来就粗，它可以顺从两头的力量，把面片擀得与两头同样程度，
这样擀出的面片，又平整，厚度又均匀。
陈省身数学奖
陈省数学奖为我国数学界最高奖，授予做出突出数学成就的我国数学工
作者，以中青年为主。从 1985 年开始，每年颁发一次。奖金额为人民币 1
万元，由香港亿利达工业发展集团有限公司提供。陈省身数学奖评选委员会
主任是吴文俊，委员有王元、谷超豪、程民德、胡国定、冯康、段学复。
数学奥林匹克竞赛
最早举办中学生数学竞赛的是匈牙利。1894 年匈牙利“物理—数学协
会”通过了在全国举办中学数学竞赛的决议。从此以后，除了在两次世界大
战中和匈牙利事件期间中断过 7 年外，每年 10 月都要举行。匈牙利通过数学
竞赛造就了一批数学大师，像费叶尔、哈尔、黎兹等，使得匈牙利成为一个
数学上享有声誉的国家，同时也引起欧洲其他国家的兴趣，纷纷仿效。1902
年，罗马尼亚由《数学杂志》组织了竞赛。1934 年前苏联在列宁格勒大学主
办了中学数学奥林匹克竞赛，首次把数学竞赛与奥林匹克体育运动联系起
来，以后逐年举行。数学竞赛的大兴起是本世纪 50 年代，据不完全统计，那
时举办全国性数学竞赛的已有近 20 个国家。我国在 1956 年由老一辈数学家
华罗庚等人倡导，举办了首次中学生数学竞赛。各国数学竞赛的兴起为国际
中学生数学奥林匹克的诞生准备了条件。
1956 年，在罗马尼亚罗曼教授的积极倡导下，东欧国家正式确定了开展
国际数学竞赛的计划。1959 年起有了“国际数学奥林匹克”，简称 IMO。第
一届 IMO 于 1959 年 7 月在罗马尼亚古都布拉索拉开帷幕。但前五届的参赛国
仅限于东欧几个国家，60 年代末才逐步扩大，发展成真正全球性的中学生数
学竞赛。为了更好地协调组织每年的 IMO，1981 年 4 月成立了国际数学教育
委员会的 IMO 分委员会，负责组织每年的活动。自此，IMO 的传统一直没有
中断，并逐步规范化。
我国自 1985 年参加国际数学奥林匹克竞赛至今，9 年中参赛 50 人次，
得奖 40 人次，其中获金牌 32 个，银牌 12 个，铜牌 4 个，取得了举世公认的
成绩。
在中学生数学竞赛的影响下，小学数学竞赛也逐步兴起。1986 年 10 月，
“华罗庚金杯”数学邀请赛诞生；1991 年 4 月，“小学生数学奥林匹克”赛
正式开始。
“华杯”赛于 1986、1988、1991、1993 年已举办过四届，竞赛要经过初
赛、复赛、决赛和口试四个阶段。初赛试题通过电视播放，每届都有 200 多
万少年参加。在各省组织初赛、复赛的基础上，选出 3 人（初中 1 人、小学
2 人）参加决赛，这四届分别在北京、深圳、长春和成都市举行。
“小学生数学奥林匹克”赛自 1991 年开始，至 1994 年已举办了四届，
赛程分初赛和决赛。初赛分 A、B、C（C 卷后来又叫民族卷）三种不同程度的
试卷，由各地根据考生的水平自由选定一种，于每年 3 月下旬第一个星期天
举行。决赛统一试卷，并于每年 4 月中旬第二个星期天举行。1993 年暑假在
山西太原举办了第一次全国小学数学奥林匹克总决赛。
菲尔兹奖——数学界最高奖
19 世纪末，随着数学研究工作的深入，数学上的国际交流越来越广泛，
人们迫切需要举行世界性的数学家集会。1879 年第一届国际数学家会议在瑞
士的苏黎士举行，3 年后在巴黎召开了第二届。自 1900 年开始，国际数学家
会议（简称 ICM）每 4 年召开一次，除了在两次世界大战期间中断以外，至
今已举行了 19 次。在 1950 年的会议上，成立了国际数学家的正式组织“国
际数学家联盟”，简称 IMU。IMU 的主要任务是：①促进数学界的国际交流；
②组织召开 ICM 以及各分支、各级别的国际性专门会议；③评审及颁发菲尔
兹（Feilds）奖。
每届 ICM 大会的第一项议程就是宣布菲尔兹奖获奖者的名单，然后授予
获奖者一枚金质奖章和 1500 美元的奖金，最后由一些权威数学家介绍得奖者
的业绩。这是数学家可望得到的最高奖励。
什么是菲尔兹奖？这要从诺贝尔奖说起。诺贝尔设立了物理学、化学、
生物学、医学等科学奖金，但没有数学奖。这个遗憾后来由加拿大数学家菲
尔兹弥补了。菲尔兹 1863 年生于加拿大渥太华，在多伦多上大学，而后在美
国的约翰·霍普金斯大学得到博士学位。他于 1892～1902 年游学欧洲，以后
重回多伦多大学执教。他在学术上的贡献不如作为一个科研组织者的贡献更
大。1924 年菲尔兹成功地在多伦多举办 ICM。正是在这次大会上，菲尔兹提
出把大会结余的经费用来设立国际数学奖。1932 年苏黎世大会前夕，菲尔兹
去世了。去世前，他立下遗嘱并留下一大笔钱也作为奖金的一部分。为了纪
念菲尔兹，这次大会决定设立数学界最高奖——菲尔兹奖。1936 年在挪威的
奥斯陆举行的 ICM 大会上，正式开
始授予菲尔兹奖。迄今有 27 人获奖。
中国有一位菲尔兹奖获得者：丘成桐，他生于广东汕头，受教育于香港，
成长于美国，他的导师是中国血统的数学家陈省身。丘成桐 22 岁获博士学
位，28 岁升为正教授，1982 年获奖时年仅 33 岁。
设立菲尔兹奖有一条不成文的规定：获奖者不能超过 40 岁。27 名获奖
者在获奖时的年龄平均为 34 岁。这说明，数学是年轻人的事业，青少年朋友
们，努力啊！
原始科技的萌芽
文明史的开端
从远古时候起，我国各民族的先民就劳动、生息、繁衍在华夏这块广大
的土地上。他们手持简陋的工具与大自然进行着艰苦的斗争，在从事采集渔
猎和原始农牧业等生产劳动过程中，不断地提高自己的劳动技能，改进生产
工具，并逐步积累了关于自然界的种种知识。
人类的历史是从制造工具开始的。根据古人类学研究的最近资料，世界
上制造工具的人的出现，最早大约在距今 300 多万年前。我国也是古人类化
石很多的国家之一。到目前为止，已发现的古人类化石，最早的有距今 170
万年的云南元谋人，此后有约 80 万年前的陕西蓝田人和约四五十万年前的北
京人。
人和动物都面对着与自然界进行斗争以求得生存的问题。动物只能靠自
己机体和器官的缓慢改变来适应自然界的变化，当这种改变不能适应自然界
的较大变化的时候，动物就会大批灭绝。人则不然，人能制造和使用工具，
而工具正是人手和牙齿等器官的延长与增强。制造和使用工具是人所特有的
活动。它意味着人对自然的改造，意味着生产。简言之，人类的文明史，首
先就是制造和使用工具的历史。
火的使用
自然界发生火的原因很多，如长期干旱和雷电都可以使森林、草原起�