按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
2．4×6＝14．4（千元）
每天还会有剩余的电力
20…2．4×4＝10．4（度）
那么如果我们把每天的煤、电全部用来生产甲产品，结果又会是怎样呢？
从煤的角度，每天可以生产甲产品
12÷2＝6（吨）
从电的角度，每天可以生产甲产品
20÷6＝3．33（吨）
综合考虑，每天能生产 3．33 吨甲产品，净收入为：
3．33×4＝13．32（千元）
这时每天会有剩余的煤
12…3．33×2＝5．34（吨）
工厂对上述两种安排都不满意，因为这两种方案煤和电力资源都没有充
分利用。有人认为，如果每天只生产 2 吨乙产品，则消耗煤 10 吨、电 8 度，
收入 12000 元。省下了 2 吨煤，可生产 1 吨甲产品（同时耗电 6 度），可再
增加收入 4000 元。这两种产品一起可收入 16000 元，比前面只安排一种产品
生产的两个方案的赢利都多。除此之外，其实还可以试探其他方案，但试探
的方法过于繁琐。
实际上，用线性规划模型可以解决这一类各因素成比例关系的生产安排
问题。对于上述只生产两种产品，消耗两种资源的问题，因为因素少，可以
用简单的作图法来解决；对于涉及因素众多的线性规划问题，要用所谓的“单
纯形法”来求最优解；对于大型工厂、地区、部门，相关因素可能成百上千，
这时就要借助于电子计算机来求解了。通过图形法或单纯形法解决上述工厂
的问题时，可以得出：每天安排生产甲产品 2．36 吨，乙产品 1．45 吨，可得
到最大收入 18180 元。
还有一类问题也可以用线性规划模型来解决。例如有甲、乙、丙、丁 4
个糖果厂，生产同一种水果糖供给 A、B、C、D4 个商店零售。若已知 4 个工
厂的产量，4 个商店的需要量，而且还知道每个工厂运给每个商店 1 吨水果
糖的运费是多少，又叫运输问题，是实际工作中会经常遇到的问题。这些问
题，都可以用线性规划模型来解决。
如何才能赚最多的钱
——整数规划模型
一个汽车队，有甲、乙两种汽车。甲汽车每辆可装体积为 1 立方米的货
物，载重量为 5 吨，可收入 500 元。乙种汽车每辆每次可装体积为 1 立方米
的货物，载重量为 9 吨，可收入 800 元。由于值班司机人数、汽油燃料等条
件的限制，每次车队派车运货体积总计不能超过 6 立方米，载重量不能超过
45 吨。问题是每次安排甲、乙车各多少辆，才能既满足限制条件，又取得最
多的收入？
我们想一想这个问题，会发现两种汽车装载货物的体积、重量与汽车的
数量是成比例关系的，而车队的收入也是与车辆数目成比例关系的。因此，
用线性规划模型可以解决这一问题。应用图解法或单纯形法，可以计算出结
果，每次应派甲种车 2．25 辆，乙种车 3．75 辆，总收入为：
5×2．25＋8×3．75＝41．25（百元）
现在新的问题又来了，这种安排是不可能实行的。2．25 辆甲种车怎么
派？要么是 2 辆、要么是 3 辆，谁也不可能派出不是整数的车。乙种车也是
同样要派出整数。像这种要求得到整数结果的线性规划模型通常被称做整数
规划模型。
可不可以集零为整？如果把小数点后面的第一位数四舍五入，即甲种车
派 2 辆，乙种车派 4 辆，这是不是上面整数规划模型的最优结果呢？通过计
算会发现该结果超过了限制条件：2 辆甲车装载 10 吨，4 辆乙车可装载 36
吨，合计可装载 46 吨，但规定不能超过 45 吨。如果把小数点后的数字舍掉，
就不会超出限制条件了，但这样的结果是不是符合最优要求呢？再来计算一
下，每次甲种车派 2 辆，乙种车派 3 辆，总收入为：
500×2＋800×3＝3400（元）
这种情况下，每次派车运货的体积总量为：
1×2＋1×3＝5（立方米）
每次派车运货的载重量总计为：
5×2＋9×3＝37（吨）
可以看出还有 1 立方米体积和 8 吨载重量没有利用，还可再增加一辆甲
种车，即 3 辆甲种车，这时收益为：
500×3＋800×3＝3900（元）
从而我们知道，四舍五入和去掉小数点后面的尾数化零为整的方法都不
能求出整数规划模型的最优结果。
有人建议将条件允许的派车方案都列举出来，一一进行计算、比较，就
可以找到最优结果。
对于上面汽车队的派车的问题，要计算 25 种方案。如果因素增加，解决
整数规划模型的方案就可能成百上千，不仅计算复杂，光列举这些方案就会
令人头晕眼花。
那该怎么办呢？现在，科学家已找到了一种解决整数规划问题的方法，
叫做“分支定界法”。这种方法首先是找到相对应的线性规划问题的最优结
果，这个结果是整数规划的界限（例如上述汽车队派车问题，相对应的线性
规划的最大收入是 4125 元，整数规划的结果一定不会超过 4125 元）。然后
作出判断并进行计算，如果线性规划求出的结果恰恰是整数，这时可以认为
已找到答案。如果线性规划求出的因素中有非整数结果，如 2．25 辆车，就要
设法分别在限制条件内把各非整数因素化整，求出结果，进行比较，最后找
到整数规划的最优结果。对于上面派车问题，可以找到的结果是，不派甲种
车，派乙种车 5 辆，可以得到最高收入：
5×0＋8×5＝40（百元）
在实际系统中，存在许多因素，它们一定要用整数值来表示，如机器台
数、人数、火车车厢数目、集装箱数、工厂个数、商店家数以及在某地是不
是建工厂，建不建商店、学校、车站等等，这些数值都不能有分数（如建，
可用 1 表示；若不建，用 0 表示）。涉及这些因素的线性规划模型，都要用
整数规划来解决，用分支定界法等方法求出最优结果。
分派问题也是另一类广泛应用的整数规划问题。例如学校周末劳动，有
四项工作（给树木花草浇水、打扫教室、修理桌椅、出黑板报）要分配 4 位
同学去完成。这 4 位同学中，不同的人对不同的工作所用时间不一样。有人
力气大，浇水快；有人写字娴熟，出黑板报花的时间少。安排得好，4 位同
学总计花费的时间就会最少。还有分派不同的工人到不同的车间去工作，不
同的轮船按不同的航线航行，不同的飞机去不同的城市等，都是属于分派问
题。
系统工程的妙用
植树问题
某班长带领 60 位同学上山去值树，主要的工作有 3 项：挖坑、运树苗、
挑水浇树。根据情况得知：用 20 或 20 以上的人挖坑，需要 20 分钟；用 20
或 20 以上的人运树苗，需要 15 分钟；用 20 或 20 以上的人挑水浇树，需 30
分钟。这样，便会有 5 种安排：
第 1 种，可以在一项工作完成以后，再进行第二项工作，最后进行第三
项，这样总计要花 65 分钟时间；
第 2 种是在挖坑的同时派人去运树苗，在完成挖坑工作以后再组织人力
挑水，这样需要 50 分钟；
第 3 种是在挖坑的同时就派人去挑水，在挑完水后再去运树苗，这样需
要 45 分钟；
第 4 种是在挖坑的同时就派人去挑水，在挖完坑后又派人去运树苗，这
样只需花 35 分钟；
第 5 种安排是 3 项工作同时开始，那么，总共只需要 30 分钟就可以完成
任务了。
很显然，在人力、工具等条件都允许的情况下，第 5 种安排最省时间，
其他安排费时间多，会出现“窝工”现象。
同样，对于一个生产汽车的工厂，厂长一定会安排不同的车间（分厂），
分别生产汽车的发动机、轮胎、底盘、外壳、仪表、座椅、车灯、电器等零
部件，最后进行总体装配，一辆辆崭新、漂亮、别致的汽车就会从流水作业
线上徐徐开出来。任何一位厂长都不会安排先生产一种零部件，完成后再生
产第二种，一直到最后一种零部件制造出来后，再去一一组装。这样，无疑
要浪费许多时间，没有生产效率。
建筑队要盖一幢楼房，一定要打地基，运砖瓦石、水泥、钢材等建筑材
料，砌砖，安门窗，装水管和下水道，粉刷墙面等，如果安排不当，就会出
现窝工现象。
生活中也有许多例子，需要人们开动脑筋巧妙安排。你可能听过这样一
个故事，讲的是一个人挑着一担菜，牵着一只羊，带着一条狗过河，河边只
有一小小的船，因船太小，当人不在场时，不能把狗和羊留在一起，因为狗
要咬羊，也不能把羊和菜留在一起，因为羊会把菜吃掉怎知办？这个人运用
他的聪明才智，巧妙安排，把三者安全顺利地带过了河。你知道他是怎样干
的吗？
如果在家里做饭烧菜，你一定会先煮米饭（或蒸馒头），并利用煮饭的
时间去洗菜、切菜，等饭（或馒头）做好了，你的准备工作也做得差不多了，
然后再烧菜，这样可节约不少时间。
当你仔细观察一下周围发生的事情，或者回想一下你的经历，你就会了
解到，生活当中有着许多精明的“管家”——他们能管理好班级，管理好企
业，管理好农业生产。这里介绍的内容，就是用图和网络的方法，解决前面
提到的各种问题，帮助人们统筹安排时间，精打细算，提高工作效率。
著名的哥尼斯堡七桥问题
欧洲有一座城市，叫哥尼斯堡。有一条河流经城区，河中有两个小岛，
共有七座桥将河的两岸和两个小岛联接起来。图中 A、B 表示两岸，C、D 表
示两个小岛，数字 1 至 7 表示七座桥。
有人提出一个问题，能不能从某一地点出发（例如 D 点），通过七座桥
各一次（即不能重复过桥），然后回到出发地（也就是 D 点）？这就是有名
的哥尼斯堡七桥问题。
1736 年，数学家欧拉发表了一篇论文，将上面的问题用下图表示出来。
同样地，图上 A、B 表示两岸，C、D 表示两个小岛，数字 1 至 7 表示七座桥。
图中的点叫顶点，用来表示具体的事物。图中的线叫做边，用来表示事
物之间的某种关系。这种图不是按比例画出的，边长不代表真正距离或其他
数量关系，顶点和边的位置也不与实际位置一一对应。这样，就可以将复杂
的工程系统、运输系统、管理系统等等简化成图，来解决工程任务花费时间
最少、运输距离最短、管理费用最省等最优化问题。
欧拉将哥尼斯堡七桥问题抽象成一个图，将上述过桥问题抽象成一笔画
问题后，他证明，上图中的顶点都只与奇数条边相连接，因此不能将图一笔
画成而不重复任一条边。假设第 4 条桥不是连接 C、D 小岛，而是连接 A、B
两岸，则可用下图表示。可以明显地看出各点均与偶数条边相连接，此图就
可以不重复地一笔画成。
我们再看一下架设电话线的例子。在下图中，要在各单位之间架设电话
线。电话线必须将它们连接，但为了节省线路，两单位之间也可以通过其他
单位接通电话，例如乙村可以通过甲村、汽车站同学校接通电话，因此不必
在乙村与学校间再架设一条电话线。这种简单形式的图就是“树”。
由于每两单位之间架线的长度不同，因此，实际上要求找到所架电线最
短的“树”，按这“树”的样子架线，所花时间最少、也最省钱。
架设电话线的“树”
供应问题
请看供水系统管路图，某村供水站要向新开垦的土地送水浇地，供水管
路要经过东南西北 4 片地区，每段管线最大供水能力分别表示在线中边上，
如供水站向南片土地每分钟最多能供应 5 立方米水，再由南片向东片最多每
分钟供应 2 立方米水等等。而这种有发点（如供水站）和收点（如新开垦地）
的有方向的图（从发点开始到收点为止）就组成了一个网络。研究供水站通
过这个网络每分钟最多能供给新开地多少立方米的水，这就是网络最大流问
题。
古代战争中就非常重视供应问题，“兵马未到，粮草先行”，说的就是
这个问题。现代化的战争供应问题更加复杂。因为现代战争，是对多兵种、
高技术、快速反应的全面考验，在一次战役之前，准备工作显得十分重要、
紧迫。因此，战前往往要研究从后方向前线调运各种武器弹药，集结各地作
战兵员和医疗、后勤保障、军事技术等各类人员，储备燃料、食品、饮用水、
药品等等问题。
还有许多系统都需要研究最大质量问题。如春节期间，铁路部门要研究
铁路网络最大客运能力，以便安排列车将旅客送回家过年。发电厂（还有水
电站）要研究电网最大送电能力，以满足工厂、农村和人民生活用电的需要。
油田和炼油厂要研究输油管网络的最大输油能力。电话局要研究电话网的最
大通话容量，等等。
邮路捷径
当你收到邮递员送来的报纸、信件的时候，你一定很高兴能从报纸上了
解到国内外大事，从信中知晓亲戚朋友的消息。但不知道你是否注意到，邮
递员每次送信都是沿着相同的街道、相同的方向送信。你会说，这些绿衣天
使熟悉这些街道，甚至熟悉许多家庭，他们习惯于沿同样的路线送信，不管
酷暑寒冬、刮风下雨，日复一日，年复一年。如何为他们选一条路程最短的
“邮路”，使他们能相对轻松地完成他们的工作呢？这个问题是 1962 年由我
国数学家管梅谷教授提出的，国际上因此而称为中国邮递员问题。
我们看一看下图所表示的一个简单的街区路线图，数字表示街道的长度
（米）。那么，假设邮递员从邮局出发，沿什么路线送完信件返回邮局，所
走的路最少呢？
首先，要送完信、报等邮件，邮递员必须要经过每条街道至少一次。如
果他能够每条街道只走一次而不重复，这样的路线当然就是最短路线。但在
街道示意图上可以看出有 4 个交叉路口均与三条道路相连接（奇数条边），
因此，这个图所表示的街道必然会有重复经过的路线。我们通过添加重复路
线，使那些与奇数条边相连的点均变成与偶数条边相连。
然后，检查每一个回路，使重复路线的总长度不大于该回路总长度的一
半。例如下图中，添加了 BC、CD、FG、GH 四条重复路线（在图中以弧线来表
示）。检查回路 BCDE，回路总长度是 850 米，而重复边总长是 400 米，符合
要求。再看 EFGH 回路，回路总长度是 750 米，重复边总长度是 350 米，也符
合要求。这样，图上所有的点均与偶数条边相连接，每条原街道或者没添重
复边，或者只添一条重复边。因此，上图就是邮递员所走的最小距离的“邮
路”。你不妨试试看，如果不是这样的路线，其他路线均要走更长的路程。
泡茶与导弹
50 年代末期，在美国海军研制“北极星”潜艇导弹过程中，接受任务的
公司、研究单位和大学共有 11000 多个。为了完成这项复杂的任务，主管人
员决定采用被称做计划评审技术的新的计划管理方法，这种方法将北极星计
划用 23 个网络、大约 3000 项工作来表示，网络图长 63．8 米，面积为 3000
多平方米。由于这种新方法的应用，使北极星计划提前 2 年多完成，从而也
使这一方法迅速推广到各部门。
我国数学家华罗庚用烧水泡茶作例子，清楚地介绍了这一方法。他讲，
要泡壶茶喝，要洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗
茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，用开水冲茶。这种安排是最省时间的，
如果先洗茶壶、洗茶杯、找茶叶，再去洗水壶、灌凉水，放在火上烧开水，
肯定时间就要长一些。一般在用图来表示时，用带箭头的线段表示某一道工
序，将工序的开头和结尾用带数字的结点表示，称为事项。现将泡茶的各工
序、相关事项及工序时间列于表 3—1 中。在复杂的工程计划中，各工序还要
给一个特殊的编号。
表 3—1 泡茶的工序和时间
工 序 相关事项 工序时间（分钟）
洗水壶 ①→② 1
烧开水 ②→④ 15
洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶 ③→④ 4
用开水冲茶④→⑤ 1
然后，用工序、事项及标有完成各道工序的时间数字组成网络图，各工
序之间的关系就一目了然了。
画出网络图以后，还要对网络图进行分析、评价、审查抓各工序中的主
要矛盾，以便节约时间提高效率。
系统分析过程
我们大家都看过激动人心的足球赛，那绿茵场上激烈的竞技、运动员娴
熟的球艺、精彩而扣人心弦的临门一脚，给人以美的享受。你如果亲临赛场，
一定会为运动员们呐喊助威；如果你是球迷，你一定会为你崇拜的球星所折
服，为你喜爱的球队而欢呼雀跃。一场精彩而激烈的足球赛，会使不少人久
久难以忘怀。
是的，足球是一门艺术，能给人以美的熏陶，也是一场意志、力量、技
艺的较量，常使人激动不已。然而，你可曾知道踢足球还有系统科学的大学
问蕴含其中吗？
固然，一场足球赛的胜败与球队队员的技艺、水平、整体配合以及意志
密切相关，但当两支水平相当的球队狭路相逢、不得不在绿茵场上一决雌雄
时，双方领队、教练的指挥调度，就成了这场竞技最关键的因素了。现在，
让我们来看看双方教练、领队在赛前是如何“运筹帷幄”而决胜球场的。
首先，双方领队、教练要正确估计对手的实力、竞技状况以及可能采用
的战略战术，然后，要正确估计、