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2
7
中2 和7 两个
数那样，因为同样可以用4 和14，6 和21 等等以至无限的其他的数来代替而
不改变这个分数中所定的值。对
a
b
同样也可以用任何数代替a 和b 而不改变
a
b
所应该表现的值。现在的意义是：对于一个函数中的x 和y，也可以用一
个无限的、即不可穷尽的数量的数来代替，a 和b 是与那x 和y 同样可变化
的大小。因此，为大小规定选择了变量这一名词是很含糊而不幸的，这种大
小规定的有兴趣之处及其处理方式，是在与单纯可变性完全不同的地方。
数学高等分析满怀兴趣地从事于研究一个函数的环节，为了弄明白这些
环节的真正规定何在，我们必须再经历一遍前面已经注意过的阶段。在
2
7
或
a
b
中，2 和7 每一个本身都是规定了的定量，关系对于它们是不重要的：a
和b 也同样代表这样的定量，它们在比率之外也仍然是它们原来的样子。此
外，
2
7
和
a
b
也是一个固定的定量，一个商数：比率构成一个数目，分母表示
数目的单位，分子表示这些单位的数目，或倒过来说也可以；即使4 和14
等等代替了2 和7，比率作为定量仍然是同一的。但是这一点在譬如
y
x
2
＝p
的面数中却有了本质的改变；这里x 和y 固然有可以是确定的定量的那种意
义，但x 和y 却没有确定的商数，而只是x 和y2 才有。所以这个比率的两端
不仅第一、不是确定的定量，而且第二、它们的比率也不是一个出定的定量
（这里也不意谓着它是像a 和b 那样的一个固定的定量），不是一个固定的
商数，这个商数作为定量也是绝对可变的。这一点的含义，唯在于：不是x
对y 有比率，而是只有x 对y 的平方才有比率。一个大小对方幂的几率，不
是一个定量，而在本质上是质的比率：方幂比率是一种情况，这种情况必须
看作是基本规定。——但是在直线函数y＝ax 之中，
y
x
＝a 却是一个普通的
分数和商数，因此这个函数只在形式上是一个变量的函数，或说这里的x 和
y 就和在
a
b
中的a 和b 那样，没有微积分针算中所考虑的那种规定。从微积
分的观点看来，由于变量的特殊性，倒是宜于为它们采用一个特殊名称，并
且采用与有限的（无论确定或不确定的）方程式中普通所用的未知数符号不
同的符号，因为它们与那些单饨未知数有本质的差异，那些未知数本身是完
全确定的定量或有一个确定定量的确定范围。——只是因为对于构成高等分
析的兴趣和对引起需要和发明微分针算的东西的特殊性缺乏意识，才把一次
方的函数，如直徒方程，也纳入这种计算本身的处理之内；另外一种误解也
有助于这样的形式主义，即这种误解以为一个方法的普遍化这一本来正当的
要求，将由于省略掉为这种需要基础的特殊规定性，便会实现，以致认为这
个领域内所处理的，好像只有一般的变量了。假如懂得这种形式主义所涉及
的不是变量本身，而是方幂规定，那么在考虑以及处理这些对象时，便会省
去许多形式主义了。
但是数学无限的特殊性之出现，还在后一阶段里。在把x 和y 首先当作
是由一个方幂比率来规定的方程式中，x 和y 本身仍然应孩有定量的意义；
这种意义在所谓无限小的差分中却完全丧失了。
dx，dy 不再是定量了，也不应该有定量的意义，它们的意义只在于关系，
仅仅意味着环节。它们不再是某物（被当作定量的某物），不再是有限的差
分；但也不是无，不是无规定的零。在比率之外，它阴是钝粹的零，但是它
们应该被认为仅仅是比率的环节，是
dx
dy
微分系数的规定。
在这个无限概念中，定量真的成了一个质的实有；它被建立为现实地无
限的；它不仅是作为这个或那个定量，而是作为一般定量被扬弃了。但是，
作为定量原素的量的规定性，仍旧是根本，或者如以前所说，仍旧是定量的
第一概念。
对这种无限的数学基本规定，即对微积分的基本规定所作的一切攻击，
都针对着这一概念。假如这个概念不被承认，那也是数学家本身不正确的观
念所引起的；尤其是要归咎于在这些争论中，不可能把对象当作概念来蔬证。
但是前面已经说过，数学在这里也避免不了概念；因为作为无限的数学，它
并不把自己限制于对象的有限的规定性，像在纯粹数学中空间和数及其规定
只是就有限性方面来观察并相互有关系那样，而是把一个从那种研究得来并
加以处理的规定，移植到与此对立的规定的同一中去，例如把一条曲线作成
直能、把圆作成多角形等等。所以数学采用的微积分的运算，与单纯的有限
规定的性质及其关系相矛盾；因此，唯有在概念中，这些运算才会得到论证。
假如无限的数学坚持那些量的规定是正在消失的大小，即既不再是任何
定量，又不是无，而仍然是一个与他物对立的规定性；那么，在有与无之间，
并没有所谓中间状态，这似乎是再明白不过的了。——这种责难以及所谓中
间状态自身是怎么回事，这已经在前面变的范畴第四个注释中说明过了。有
和无的统一、当然不是什么状态；状态只是有和无的一种规定，有、无等环
节只是偶然由于错误的思维才陷入这种规定之中，就好像陷入疾病或外在的
影响之中那样；倒不如说唯有中项和统一、消失或变才是它们的真理。
人们还说过：无限是什么，并不能以较大或较小来比较，所以按照无限
的行列或品极，并不能够发生有限和无限的比率，像出现在数学科学中的无
限差分的区别那样。从上所说的非难，是以如下的观念为基础，即这里所淡
的是定量，它们是作为定量而被比较的；假如那些规定不再是定量，那未，
它们彼此同也就不再有比率了。但是，那个仅仅在几率中的东西，倒不如说
并非定量：定量是一个这样的规定，即它在比率之外，有一个完全漠不相关
的实有，它与一个他物的区别应该是漠不相关的；与此相反，质的东西恰恰
只是在它与一个他物相区别那样的东西。因此，那些无限的大小不仅是可以
比较的，而且只有作为比较或比率的环节。
我再列举一下数学中关于这种无限所储予的最重要的规定；很显然，关
于事实的思想虽然为这些规定立下基础并与此处所阐释的概念一致，但是这
些规定的创始者并没有把这种无限当作概念来探讨，而在应用时又不得不找
与其更良好的宗旨相矛盾的办法。
①对这种思想的正确规定，莫过于牛顿，我在这里把属于运动和速度（他
主要是从速度采用了流数Fluxion 这一名词）观念的规定分开，因为这里出
现的思想，不是在份所应有的抽象之中，而是具体的，夹杂着非本质的形式。
① 参看第122 页。
牛顿解释这些流量说（《自然哲学的数学原理》第一卷，第十一补助命题注
释）①，他并不把它们理解为不可分的东西（这是以前数学家们，如卡伐里利
②等所用的形式，含有自在地规定了的定量的概念），而是正在消失的可分的
东西。再者，流量也不是一定部分的总和和比率，而是总和和比率的极限
（limites）。可以责难说，正在消失的大小并没有最后的比率，因为在消失
以前就还不是最后的，而当其消失，便也再不是什么比率了。但是对于正在
消失的大小的比率，必须理解为这样的比率，即大小不是在比率以前，也不
是在以后，而是莲同比率一起消灭的（quacdcum evanescunt）。正在发生的
大小的最初几率，也同样是速同比率一起发生的。
牛顿只是按科学方法的当时水平，说明了一个名词所指的是什么，但是
一个名词所指是这样或那样的东西，这原本是主观的意向或历史的要求，那
里并没有表现出这样一个概念是自在而自为地必然的，具有内在的真理。但
是从上所引，也表明了牛顿所提出的概念，与上述无限大小如何由对定量自
身的反思而产生，是相符合的。这就是从大小的消失来了解大小，即是说它
们已不再是定量；此外，它们也不是一定部分的比率，而是比率的极限。所
以无论定量本身（即比率的各项），或是比率本身（只要这个比率也是定量），
都应该消失；大小比率的极限，就是在那里既有比率，又没有比率，——更
精确地说，就是定量在那里消失了，从而比率只是作为质的量比率而被保留，
其各项也同样只是作为质的量环节而被保留。——牛顿又说，不可以从有正
在消失的大小的最后比率，推论出也有最后的或不可分的大小。那样就会叉
是从抽象的比率跳到这种比率的各项上去，这样的各项本身在其关系之外另
有一种值，它们是不可分的，像是某种是一或无几率的东西。
针对这种误解，他还提醒我们说，最后比率不是最后大小的比率，而是
极限；无限地减少着大小的比率，比任何已有的、即有限的差分都更接近极
限，但是这些比率却不可越出那个极限，那样就会成了无。如前所说，最后
的大小可以被了解为不可分的大小或一。但是在最后比率的规定中，无论是
漠不相关的一，即无比率之物的概念，或是有限的定量的观念，都除掉了。
另一方面，假如所要求的规定，已经发展成为钝粹仅仅是比率的环节这种大
小规定的概念，那就既不需要牛顿把定量移植其中而仅仅表现为无限进展的
那种无限的减少，也下需要在这里并不再有直接意义的那种可分性的规定。
①至于在定量消失中保留比率，在别处也有表现（例如卡尔诺②的《关于
微分计算的形而上学的一些思考》），即正在消失的大小，由于连续规律，
在消失之前仍然保持它们来源所自的比率。——这种观念只要不被了解为定
量的连续，就表现了事物的真正本性，因为这种连续在无限进展中仍有定量，
定量在消失中仍然这样继续自身，即在它自己的彼岸中所发生的，仍然只是
一个有限的定量，一个系列的新项；一个连续的过程总是被想像为这样的，
即：它所经过的值，全都仍然是有限的定量。反之，在被造成真正无限的那
种过渡中，连续的却是比率；因为这种过渡倒是恰恰在于把几率提出使其纯
粹，使无比率的规定（即一个定量是比率的一项，它被放在这种关系之外，
也还是一个定量）消失，所似这种比率是很连续的，保持自身的。在这样的
情况下，量的比率的这种纯净化不过是好像一个经验的实有物被概念掌握那
样。这种实有物之所以高出自身，是由于它的概念含有与它自身同一的规定，
但这是以这些规定的本质性和概念的统一性来把握的，在这之中，规定也就
失去了漠不相关的、非概念的持久存在了。
① 参看《自然哲学之数学原理》，郑太朴译，商务印书馆版，第60—61 页。——译者
② 卡伐里利（Cavdieri，1598—1647），博洛尼亚（Bologna）的数学教授，著有：《不可分的连绩的新几何
学》，1635 年，《几何学习题》，1647 年。——原编者注
① 参看第122 页。
② 拉薩尔·尼古拉·马格里特·卡尔诺伯爵（GrafLazareNicolasMargueriteCarnot，1753—1823），共和国军
“胜利的组织者”，一直到1815 年被放逐时，在政治上和军事上都同样是重要人物，死于马格德堡。他的
《关于微分计算的形而上学的一些思考》出版于1797 年。——原编者注
同样有兴趣的，是牛顿对现在所就的大小所表述的另一形式，即发生的
大小（erzeugende Grosse）或根本（Prinzipien）。一个已经发生的大小
（genita）是一个乘积或商数、方根、长方形、正方等——总之是一个有限
的大小。“这种大小在继续运动和流动中增减而被认为是可变的，所以他对
它的暂时增量（Inkrement）或减量（De－hement）用了瞬刻（Moinent）这
个名词。但是这些瞬刻不应该被看作是一定大小的细小部分（particu1ae
finitae）。这样的细小部分自身不是瞬刻，而是由瞬刻所发生的大小，这里
所指的，倒不如说是有限大小正在发生的根本或开始。”定量在这里便以它
是一个产物或实有物和以它是在发生中、在开始或根本中、即在它的概念中
（或说在它的质的规定中在这里也是一样）而与自身有区别；在质的规定中，
量的区别，即无限的增量或减量，只是环节；唯有已变成的东西，才是已经
过渡到实有的漠不相关和外在性中的东西，才是定量。——真概念的哲学虽
然必须承认上述关于增量或减量的无限规定，但是同时也必须注意到增量等
形式本身也是归于直接定量和已经说过的速摘进程的范畴之内的；而且x 有
了dx 或i 等的增量、增长、增添这样的观念，倒不如说应当看作是方法中存
在着根本毛病，对于把质的量环节的规定从普通定量观念纯净地提出来，是
一种长久存在的障碍。
无限小量的观念远比上述的规定落后，这种观念本身就掩藏在增量或减
量里面。按照这种观念看来，这些大小应该有这样的情况，即不仅是它们对
有限的大小说来，可以省略掉，就是它们的较高序列对较低序列，或多数的
乘积对个别乘积也都可以省略掉。①莱布尼兹突出地强调了这种省略的要求，
有关这种大小的方法以前的发明者也同样使这种省略发生。这种省略主要是
在运算过程中对计算赢得方便而有了不精密和显著不正确的外貌。——沃尔
夫曾以他自己的方式，企图使这种省略问题通俗化，这就是说使概念不纯洁，
用不正确的感性表象代替概念，而使其易于了解。他把较高极的无限差分对
较低极的省略，比作一个几何学家进行测量一座山的高度时，有风吹掉了峰
巅的一粒尘沙，或针算月蚀时省略了房屋、塔院的高度，都不会减少其精密。
（《普通数学初阶》，第一卷，《数学分析初阶》，第二部分，第一章注释。）
假如说常识承认这种不精密可以容许，那么，一切几何学家相反地，都
会抛弃这种想法。在数学科学中完全谈不到这样的经验的精密；而数学测量
由于运算或由于几何构造及证明也与田野丈量，经验的线、形等的测量完全
有区别：这是浪显然的事。除此而外，前面已经说过，数学分析家由于比较，
也指出如何用严密几何学方法和如何依无限差分的方法所得的粘果，彼此都
是一样的，完全没有较多或较少的精密性可言。很显然，一个绝对精密的秸
果不能来自一个不精密的处理方法。可是另一方面，这种处理方法自身又以
无足轻重为理由，不管前面所举的辩解遭到抗议，仍避免不了那种省略。要
把这里所包含的荒谬情况弄明白并加以消除，这正是数学分析家们勉力以赴
的困难所在。
① 参看第122 页
①对这一方面，首先要举出尤拉②的观念。由于他以牛顿的一般定义为基
础，他坚持微分针算耍考虑一个大小的增量的比率，但是又须把无限的差分
本身完全当作零（《微分升算教程》第一部分，第三章）。——对此须如何
了解，前面已经谈过了；无限差分只是定量的零，不是质的零，或不如说作
为定量的零，它仅仅是比率的纯粹环节。它不是一个就量而言的区别；所以
在一方面把被称为无限小量的那些瞬刻也说成是增量或减量，并且是差分，
那就简直是偏向了。这种规定首先是以把现存的有限大小加上或减去一点东
西为基础，先有一种减法或加法，即算术的、外在的运算。但是从变量函数
到它的微分的过渡，却必须看作是完全另外一种性质的过渡，如以前已经说
明过的，这种过渡必须被认为是把有限的西数归结到其量规定的质的比率。
——另一方面，假如说增量本身是零，要考虑的只是其比率，那么这一方面
的偏向也是很显然的；因为一个零简直就不会再有什么规定性了。这种观念
固然达到了定量的否定物并且表示了这个否定物，但是并没有同时以质的量
规定这种肯定意义来把握否定物，这些规定若是从比率中摘取出来而被看作
定量，那便会只是零。——①拉格朗日②（《解析面数论》，导言）判断极限
或最后比率的观念说，假如两个量仍然是有限的，那就立刻可以很容易设想
它们的比率，一旦这个比率之项同时成了零时，那么这个比例所给予的概念，
对于知性说来，就不明白、不确定了。③——事实上，知性必须超出比率各项
作为定量是零这种单纯否定的方面，而耍去把握它们是质的环节这种肯定的
方面。——尤拉在以后（见前引书§84 以下）又说两个所谓无限小量虽然不
过是零，却有一个相互的几率，所以对它们不用零的符号而用别的符号：他
为了此种证明而对有关的上述规定所增补的说法，是不能令人满意的。他想
用算术比率和几何比率的区别来论证这一点；在算术几率中我们所看到的是
差分，在几何比率中我们所看到的是商数，算术比率虽然等于两个零之同的
比率，但几何比率却不因此而也是那样；假如说2：1＝0：0，那么，就比例
的本性而言，第一项既然比第二项大两倍，第三项也就必须比第四项大两倍；
所以0：0 就比例说，应该被当作是2：1 之比。——即使就普通算术说，n·0
＝0，所以，n：1＝0：0。——但是正因为2：1 或n：1 是定量的比率，所以
既没有一个0：0 比率，也没有一个0：0 记号是符合于这个定量比率的。
我不再多事引证，因为以上的考察已狸足够指明其中固然包含着无限的
真概念，但是没有在概念的规定性中使概念突出并把握住它。因此在运算本
身进行时，就不能使真的概念规定在运算中发生效力；反而回到有限的量规
定性，运算避免不了一个仅仅是相对小的定量观念。计算使所谓无限的大小
必须服从基于有限大小的本性的那些普通算术运算，如加法等，并且从而把
这些无限的大小�