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必须服从基于有限大小的本性的那些普通算术运算，如加法等，并且从而把
这些无限的大小暂时当作有限大小来处理。计算一方面把这些无限的大小贬
低到这样的范围，并把它们当作增量或差分未处理，另一方面又在把有限大
小的形式和规律应用于它们之后，立刻将它们当作定量而加以省略；关于这
一点，针算是须要为自己找辩护理由的。
① 参看第122 页。
② 尤拉（LeopoldEuler，1707—17S3），彼得堡、柏林的教授，以后又在彼得堡。著有《无限的分析引论》，
1748 年，《微分计算教程》，1755 年，《积分计算教程》，1768—1794 年。——原编者注
① 参看第122 页。
② 拉格朗日（Jcs LorisLagrange，1736—1812），尤拉的柏林后继者，以后又任巴黎综合工艺学院教授。著
有《解析函数论》，1797 年出版。——原编者注
③ 数学中0：0 这个比率的值是不确定的。——译者
关于几何学家们消灭这些困难的尝试，我只举其最主要的。
古代数学解折家对此并不曾感到有多大顾虑，但是近人的努力却在于使
无限的升算有几何方法特有的自明性，并在数学中达到古人在几何方法中证
明的谨严（拉格朗日的说法）。可是因为无限的分析原理比有限大小的数学
原理有较高的性质，所以前一类必须自行放弃后一类的自明性，就像哲学不
能要求有感性科学，例如博物学那样的自明性，——吃和喝也比思维和概念
理解应该是更容易懂的事儿。现在且谈要达到古人证明的谨严的那些努力。
许多人曾经试图完全避免无限的概念，不用这个概念来实现与使用这个
概念密切相关的东西。——譬如拉格朗日就谈论过兰登①所发明的方法，并且
说那种方法纯粹是分析的，不用无限小的差分，而是光则引用了变量的不同
的值，然后又使其相等。此外，他又断言微分针算所特有的特点，即方法简
单、运算容易等，都在这里失去了。这种办法与我们以后还要细谈的笛卡儿
切线方法的出发点，很有符合之处。这里所能指出的是，这一点至少是明显
的：这种办法，先假定变量不同的值，以后又使其相等，这一般是属于微分
针算方法本身以外的另一种数学处理范围，并且这种计算自身的现实具体的
规定所归结的那种单纯比率，即推导出来的函数与原始函数的单纯比率，其
特性也没有得到强调；这种特性，我们以后还要详细说明。
②近人中的较老一辈，如费尔马③、巴罗④等人都在后来发展成为微积分计
算的应用中，用过无限小，后来莱布尼兹及其后继者，还有尤拉，都总是坦
率相信无限差分的乘积及其校高极方幂可以略去，共理由只是因为这些差分
与棘低的序列相对比便消失了。他们的基本命题唯有依靠这一点，即依靠一
个乘积或方幂的微分是什么的规定，因为他们的全部理论学说都归结到这一
点。其余一部分是展开＇函数或系列＇的作用，一部分别是应用；可是有较高
兴趣的、或者说唯一有兴趣的东西，却实际上是在应用那一部分里，这以后
还要加以考察。——与现在问题有关的，我们在这里只是要举出初步的东西；
关于曲线的主要命题，也同样以无足轻重为理由而被采用，曲线的原素，即
纵横座标的增量，具有次切线（Sub—tangent）和纵横座标的相互比率；为
了取得相似三角形的目的，便将弧（它与以前有理由称为特殊的三角形的两
个增量构成一个三角形而是其第三边）认为是一条直线，是切线的一部分，
从而被认为是增量之一达到了切线。①这些假定一方面使那些规定高出于有限
大小的本性，但另一方面却又对现在称为无限的瞬刻应用了只适用于有限大
小的处理办法，在这样的办法里，没有东西可以因其无足轻重而省略掉。方
法所遭受的困难，在这样的办法里，仍然很厉害。
① 兰登（John Landen，1719—1790），英国数学家，著有《数学夜思集》，1755 年，等书。——原编者注
② 参看第122 页。
③ 费尔马（Pierre de Fcrmat，1601—1665），著有《数学运算的变数》，1679 年。——原编者注
④ 巴罗（Isaac Barrow，1630—1677），剑桥大学教授，著有《几何学讲义》， 1669 年，《光学讲义》，
1674 年。——原编者注
① 意思是说：弧本是曲线，但在无限小的情况下，却被当作了直线。——译者
这里须要举出牛顿的一个值得注意的办法（《自然哲学的数学原理》，
第二卷，第七命题后面的第二补助命题），——为了消除这种情况，即在求
微分时算术上不正确地省略无限差分的乘积或其较高极的乘积，便发明了一
种很有意思的把戏。从来用的微分，便很容易推导出商数、方幂等的微分，
而他是用以下的方式找到乘积的微分的。假如x，y 每个的无限差分都小一
半，共乘积就成为xy
xdy ydx dxdy
… … ＋
2 2 4
；假如让x 和y 有同样的增加，其
乘积就成为xy
xdy ydx dxdy
＋ ＋ ＋
2 2 4
。现在再从第二个乘积减去第一个乘积，
仍然剩余下ydx＋xdy，而这是增长了整个dx 和dy 的剩余，因为这两个乘积
就是以这个增长而有区别的：所以这就是xy 的微分。——人们可以看出在这
种办法中，构成主要困难的那一项，即两个无限差分的乘积dxdy，由它本身
而消除了。但是虽然以牛顿的鼎鼎大名，也必须说这样的运算，尽管是很初
极的，却仍旧不正确；说（ ）（ ） x （ ）（ ）
dx
y
dx
x
dx
y
dx
＋ ＋ … … …
2 2 2 2
＝（x＋dx）（y
＋dy）—xy，这是不正确的。只有为流量计算重要性找理由的这种需要，才
能够使一个像牛顿那样的人自己受到这种证明的欺骗。
牛顿用来推导微分的其他形式，是与原素及其方幂的具体的，和运动有
关的意义联系着的。使用系列形式也是他的方法的特征，在这里，其涵意是
税永远能够用增添更多的项来取得所需要的精密的大小，而省略掉的项则是
相对地无足轻重的，结果一般只是一种近似；在这里，好像他也不以这种理
由为满足，正如他在解高等方程时，用近似的方法，以较高方幂（这些方幂
是在替代已有方程中每一个找到了的但仍不精密的值之时所发生的）很微小
这样粗疏的理由而将它们省略掉那样：参看拉格朗日《数字方程》第125 页。
牛顿用省略重要的高级方幂来解决问题，他所犯的这个错误，使他的反
对者有机会用他们的方法战胜他的方法，拉格朗日在近著中（《解析函数论》，
第三部分，第四章），也指出了这种错误的真正根源；这种错误证明了在使
用那种工具时，还有徒具形式的和靠不住的东西。拉格朗日指出牛顿之所以
犯错误，是因为他所略去的系列的那一项，含有一定问题关键所在的方幂。
牛顿执着于各项因其相对微小而可以省略那种形式的，肤浅的原则。大家知
道在力学中，若一运动的函数在一个系列中展开，这个系列的各项便被给与
一定的意义，于是第一项，或第一个函数，是关于速度的瞬 刻，第二个函数
是关于加速力，第三个函数是关于诸力的阻力。于是系列各项在这里被认为
不仅是一个总和的部分，而且是概念的一个整体的质的环节。因此，省略其
余属于简单无限系列的各项，与以各项相对微小为理由的省略，是具有全然
不同的意义的。①牛顿的解决，错误不在于其系列各项只被当作是一个总和的
部分，而在于没有考虑到含有问题所在的质的规定的那一项。
① 拉格朗日在应用函数论于力学，即直线运动一章中，把这两种观点以简单的方式并列起来（《解析函数
论》，第三部分，第一章，第四节）。经过的空间被看作是流过的时间的函数，这就是x＝ft 方程式，后者
作为y（t＋θ）展开时，便有：？ 于是在这段时间所经过的空固，便以的公式来表示。于是借以通过空
间的运动，可以说是由于各个部分的运动综合而成的（这就是说因为解析的展开，给了多数的，并且诚然
是无限多的项），这些运动的与时间相应的各段空间，便是等？？。当运动已知时，第一部分运动在形
式上是匀速的，有一个由ft，规定的速度，第二个是匀加速的运动，它是由一个与ft，成比例的加速的力
而来的。“其余各项现在既然不与任何简单的、已知的运动有关，所以就不须特别考虑它们；我们并且将
指明对于规定运动时间的开始之点，它们是可以抽掉的。”这一点随后便有了说明，但当然只是用一切项
对于规定在一段时间经过的空间大小都属需要的那种系列，来和第三节表示落体运动的方程x＝at＋bt 之比
较，因为那里只有这样两项。由于解析展开而产生了各项，这个方程便有了说明，只是由于假定了这种说
明，这个方程才获得它的形态；这个假定是匀加速运动由一个形式上匀速的，以在先前时间部分所达到的
速度而继续的运动，和一个被付与重力的增长（它在s＝as2 中就是a，即经验的系数）综合而成，——这
一个区别在事物本性中并不存在，也无根据，而只是对着手解析处理时所得的东西，作了错误的物理的表
现。——黑格尔原注
在这个例子里，处理办法要依赖质的意义。这里也可以连带提出一般主
张，即：假如指出原则的质的意义并使运算附属于这种意义，——而不要形
式主义地只是庄为微分起名称的任务中才提出微分的规定，只是在一个函数
的变量得到增长之后才提出这个函数与它的变化的一般区别，——那么，原
则的全部困难便会消除。在这种意义之下，很明显，由展开（x＋dx）n 而发
生的系列，用它的第一项便可以完全穷尽xn 的微分。其余各项之不被考虑，
并不是由于它们的相对微小；——这里并不曾假定有不精密之处、缺点或错
误，被另一错误抵消了或改善了，——卡尔诺主要就是从这种观点来为无限
小的普通计算方法辩护的。既然所处理的不是一个总和，而是一个比率，那
么，这个微分便完全可以由第一项找到；假如需要更多的项，即便高级的微
分时，其规定也不包含作为总和的一个系列之继续，而包含人们唯一想要有
的同一比率之重复，而这个比率却在第一项中已经完备了。对一个系列及其
总和的形式上的需要，以及和它有关的东西，都必须与那种对比率的兴趣分
别开。
卡尔诺关于无限大小的方法的种种解释，最明显地揭示了它含有上面引
证的想法中的一切最为动听的东西。但是，在转到运算本身时，通常的关于
被省略之项相对于其他项说来是无限小的想法，多少又出现了。卡尔诺是用
下述事实来辩解他的方法的，那就是，计算结果是正确的，引进这种不完整
方程（他是这样称呼这些方程的——就是那些作了这种算术上不正确省略的
方程）对于简化计算具有便利：他并不是从事物自身的性质来辩解它的。
大家都知道拉格朗日为了跳出无限小观念以及最初、最后比率和极限的
方法所引起的困难，重又采用了牛顿原来的方法，即级数法。他的函数计算，
在精确、抽象、普遍等方面的优点都已经得到足够的承认，这里所要举出的，
只是这种计算依靠，一个基本命题，即差分虽不戊为零，却可以认为是如此
微小，以至系列的每一项，在大小方面，都超过了一切后继各项的总和。—
—这个方法也是从增长和西数盖分的范畴开始，函数的变量得到增长，于是
便从原来的函数得到使人厌烦的系列；而在后来，系列的被省略的各项，同
样也只是鉴于它们构成了一个总和，才被考虑，省略它们的理由也是建立在
它们的定量的相对性上。所以一方面这里的省略一般也并不是回到前面曾经
提过的、在某些应用中出现的那种观点，以为系列各项应当有确定的质的意
义，而被忽略的各项并不是因为它们在量上不重要，而是因为它们在质上不
重要；另一方面，这种省略本身在所谓微分系数那种很重要的观点中便消除
了，这是拉格朗日在所谓升算应用中才确定地加以强调的观点，我们在下一
注释里还要对此详细讨论。
这里所谈的那种被称为无限小的量的形式，共一般质的特性已经证明；
这种质的特性在上述比率极限的范畴中，可以最直接地找到，而且极限在针
算中的使用成了特殊方法的标记。拉格朗日对这个方法的判断是：它在应用
中并不简便，极限这一名词也没有明确的概念；在这里我们愿意接受判断的
第二点，并仔细看看，关于极限的解析的意义提出了什么。在极限观念里，
当然包含着变量的质的比率规定这一以前说过的真正范畴；因为这些变量所
采取的dx 和dy 的形式，应该直捷地只被看作是
dy
dx
的瞬刻，而
dx
dy
本身则应
该被认为是唯一而不可分的符号。就升算的运用说，尤其是就计算的应用说，
升算由于微分系数的两端分开而取得的好处，因此便失去了，这一点可只暂
时置之不理。那个极限现在应该是某一函数的极限，——它应该标出与此函
数有关的某一个值，这个值是依导数（Ab1eltung）的方式而规定的。但是，
用单纯的极限范畴，我们并不能比用这个注释中所涉及的东西前进更远；这
个注释要指出在微分计算中出现为dx 和dy 的无限小，不仅具有一个非有限
的、非已知的大小那种否定的、空洞的意义，如人们所说的一个无限的数量，
或无限进展之类，而是具有量的、一个比率环节本身的质的规定性那种明确
意义。但是这个范畴却对一个已知函数那样的东西，还没有比率，与这个函
数的处理和那种规定在函数中的使用都没有牵涉；所以极限观念若是停留在
为它所已经证明的规定性里，便什么也引导不出来。但是极限这一名词本身
已经包含着它是某物的界限这种意思，即是锐它表示了变量函数中所包含的
某一个值；这就必须看一看这种具有极限的具体情况是如何发生的。——极
限应该是两个增量互相具有的比率的极限；在一个方程式中，有关的两个变
量，被当作是互为函数，它们被认为是以这两个增量而增加：这里的增长被
认为是本来不确定的，所以也并没有使用无限小。但是，首先，这种寻找极
限的道路，也招致了和其他方法所包含的同样的前后不一贯。这条道路如下。
假如y＝fx，当y 变为y 十k 时，则fx 应变为fx＋ph＋qh2＋rh3？？等等，所
以k＝ph＋qh2＋？？等，而
k
h
＝p＋qh＝＋rh2？。假如现就是两种增长比率
的极限。可见h 作为定量是被当作＝0，但是
k
h
却不因此而是＝
0
0
，它还仍然
应该是一个比率。免去这里所包含的不连贯，应该是极限观念所获得的好处；
同时p 不是一个现实的比率，如
0
0
的比率，而仅仅是一定的值，比率可以无
限的接近它，以致其差别可以比任何已有的差别更小。下面将考察一下就彼
此应该真正接近的事物而论，接近有什么更确切的意义。一个量的差别，不
仅可以而且应该比任何已有的差别都更小，一个量的差别假如有了这种规
定，就不再是量的差别了，这一点本身是很明显的，共自明性和任何能够在
数学中是自明的东西一样；但是这样便没有超出
dy
dx
=
0
0
以外。另一方面，假
如：
dy
dx
= p ，即被认为是一定的量的比率，这个比率事实上也是如此，而以
h＝0 的假定（只有用它才找得出
k
h
=p），它却反倒陷于困境了。另外，假如
承认
k
h
＝0，——而有了h＝0，那么事实上自然也就有k＝0；因为增长为y，
只有在这个增长是h 的条件下才会出现，——于是要问p，这个完全确定的
量的值，究竟是什么。对此自然立刻有一个简单枯燥的回答，说它是一个系
数，由什么导数发生的，——即以一定方式由原始函数所导出的第一个函数。
假如对此可以满足，拉格朗日就实质而论，对此实际上也是满足的，那么，
微分计算科学的一般部分，紧接着那种称为极限理论的形式部分，免掉了增
长，然后又免掉了增长的无限小或任意的小，也免掉了这样的困难，即，除
首项而外，或不如说只是除首项的系数而外，要把因引入那些增长而不可避
免地出现的一系列的其他更多之项，重行销去，此外，也清除了与此相关的
其他东两，首先是无限、无限接近等形式的范畴，以及在这里是同样空洞的
连续量①范畴，而这些范畴在别处是像一个变化的倾向、发生、机缘等，同样
被认为是必需的。就完全可以满足理论的枯燥规定而言，p 不过是由展开一
个二项式而引导出来的一个函数，但是除此而外，现在必须指出，p 还有什
么更多的意义和价值，即对以后的数学上的需要，还有什么关联和用处；关
于这一点，将在注释二中讨论。这里接着首先要讨论的，是：问题主要所在
的几率，对于它本来的质的规定性的理解，由于在表述中流行使用的渐近观
念，引起了混乱。
我们已经指出过，所谓无限差分就是表示作为定量的比率的两端之消
失，而留下来的只是两端的量的比率，比率之所以纯粹，因为它是以质的方
式规定的：质的比率在此并没有丧失什么，倒不如说它正是有限的量转化为
无限的量的结果。我们已经看到这里正是事物的全部本性所在。——譬如纵
横座标的定量便消失于最后比率之中；但是这个比率的两端在本质上仍然一
端是纵座标的原素，另一端是横座标的原素。当人们用想像使一纵座标无限
地接近另一纵座标之时，从前有区别的纵座标便过渡为另一纵座标，以前有
区别的横座标也过渡为另一横座标；但是本质上，纵座标不过渡为横座标，
横座标也不过渡为纵座标。我们仍然欣这个变量的例子来说，这里并不是耍
把纵座标的原素看作是一个纵座标与另一个纵座标的区别，