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以及由这两个增量与切线的一个同样想像的增量所构成的想像的特殊三角
形，于是由方程式的开方而找到的比率和纵座标与切线的比率两者的比例性
质，不仅不被表述为是经验地从旧知识得来的某种东西，而且是经过证明的
东西。但是旧知识却以上述规则的形式，一般地，极其明白地证明自身假定
是特殊三角形和那种比例性质的唯一的起因和有关的理由。
拉格朗日抛弃了这种假冒的货色，开创了真正科学的道路；理解问题所
在，须归功于他的方法，因为这种方法就在于把为了解决周题而必须作出的
两个过渡分开来，把每一方面都分别加以处理和证明。——在对过程作较详
细的说明时，我们仍然用求出次切线这样初步问题的例子。这个问题的解决，
一部分，即理论的、或一般的部分，即从已知的曲线方程式术出第一函数，
这由它本身就可以调整就绪；这一部分给了一个线的比率，即直线的比率，
这些直线出现于曲线规定的系统之中。问题解决的另一部分，是求出曲线中
有这种比率的那些直线。现在可以用直接的方式（《解析函数论》第二部分
第二章）办到这一点，即没有特殊三角形，这就是说无须假定无限小的弧和
纵横座标，也无须给它们以dx 和dy（即那种比率的两端）的规定和那个比
率立刻直接与纵座标及次切线相等的意义。一条线只有在它构成一个三角形
的边之时，它（一个点也如此）才有它的规定，正如一个点的规定也只是在
这样的三角形中那样。顺便可以提一下，这是解析几何的基本命题，它之引
人座标线就像它把力的乎行四边形引人力学中那样（这本来是同一回事），
正因此，平行四边形才完全不需要费许多气力去找证明。——现在以次切线
为一个三角形的一边，纵座标及有关的切线为三角形其他的边。切线作为直
线，其方程式便是p＝aq（加上十b 对于规定并无用处，那只是为了癖好普
遍性的缘故才添上去的）；
p
q
比率的规定便归在q 的系数a 之内，它又是方
程式的有关的第一函数，但一般只需要把它看作是a＝
p
q
，如以前所说，这
是应用于曲线被当作切线的那种直线的规定。再者，现在既然假定了曲线方
程式的第一函数，那么，它同样也是一条直线的规定；进一步说，既然假定
了第一条直线的座标线p 与曲线的纵座标y 是同一的，那么，第一条直线被
当作是切线与曲线相交的一点，也就是由曲线第一函数所规定的直接的起
点，所以应该要指出的是：这第二条直线与第一条重合，即它是切线；用代
数来表示，即因为y=fx，和p=Fq，现在说y=p 所以fx=Fq 而fa＇=Fq＇。现
在被当作切线来应用的直线，与由方程式而来并被其第一函数所规定的直
线，是重合的，所以第二条直线是切线；证明这一点将山横座标的增量i 和
被函数展开的规定的纵座标增量来帮忙。于是这里也同样出现了那个声名狼
藉的增量；但是为了方才所说的目的而引入增量，以及依增量而展开函数，
都必须与以前提到过的为求出微分方程式和为特殊三角形而使用增量，很好
地区别仆未。现在这里的使用是有理由而必要的；这种使用是在几何范围之
内，因为切线与曲线有一共同的相交之点，在这切线与曲线之间，并没有另
外的直线能够同样落在这一点上并通过其间，这是属于切线本身的几何规定
的事。于是切线或非切线的质，便以这种规定而归结到大小的区别，那条线
既是切线，绝对较大的小①便因与此有关的规定而加于这条切线之上。这种似
乎是相对的小，丝毫不包含经验的东西，即不包含依照定量本身的东西：假
如须要比较的大小是依赖于环节的区别，而环节的区别就是方冪的区别，那
么，这种小便是由公式的本性在质的方面建立起来的：由于这种区别归结于
i 和i2 而且这个i 归根到底应当意谓着是一个数，于是便须设想i 是一个分
数，而i2 本身便比i 小；这样，可以把i 当作是一个随意的大小的这种观
念，在此便是多余的，甚至用得不是地方。对较大的小的证明，因此也与无
限小毫不相干，在这里丝毫不须引用无限小。
① 较大的小，即更小，绝对较大的小，即在一定条件下，没有比它更小的，这是指上文所说的增量。——译者
对于笛卡儿的切线法，即使是仅仅为了它的美妙和它的今日已被遣忘但
却是值得享有的荣誉，我也还愿意介绍它：此外，它与方程式的本性也有关
系，关于这一点，以后在另一注释里还要谈到。笛卡儿在他的对别方面也很
有益处的几何学中（第二册，第357 页以下，全集第五卷，古冉版），讲述
了这种独立的方法，在那里，所求的直线规定，也是从同样的导出西数里找
到的，由于他在这种方法中，教授了方程式本性的伟大基础及其几何的结构，
从而在很大程度上把解析推广到一般的几何。在他那里的问题，具有课题的
形式，那就是画一条直线垂直于一条曲线的任何地点，由此而规定次切线等
等；他的发现涉及当时有普遍科学兴趣的对象，这种发现是如此其几何式的，
并由此而远远高出他的竞争者的单纯规则的方法（这种方法，前文已经提到
过）；人们可以体会他在那本书里对这种发现也踌躇满志，他说：“我敢说
这在几何学中，不仅是我所知道的，而且是我从来想要知道的最有用、最一
般的问题。”①他为解决直角三角形的解析方程式奠定了基础，这个三角形的
形成，由于：（1）曲线上一点的纵座标，而问题中所要求的直线应当在这一
点上垂直，（2）这条直线本身，即垂直线，（3）被纵座标和垂直线所切断
的轴的一部分，即次垂直线。从一条曲线的已知方程式，无论是纵座标或横
座标的值，现在都将在那个三角形的方程式中得到代替，于是便有了一个二
次方程式（笛卡儿并且指出含有较高次的方程式的那些曲线，也怎样还原为
这种二次方程式），在这个方程式中，那些变量只有一个出现，它或是平方，
或是一次方冪；——一个平方的方程式①，它起初看来像是所谓不纯的方程
式。于是笛卡儿有了这样的想法，即：假如在一条曲线上所取之点，被设想
为这条曲线与一圆相切之点，这个圆便将还在另一点与这条曲线相切，于是
对于两个由此产生而不相等的X，便将发生两个方程式，它们具有相同的常
数和相同的形式；——域者说只有一个方程式，但具有不同值的X。但是为
那一个三角形，却只有一个方程式，在那个三角形中，垂直于曲线的，是弦，
或说垂直线；被设想的是：曲线与圆相切的两点是重合的，所以曲线可以与
圆相交。但是这样一来，平方方程式的不相等的方根X 或y 的这种情况也就
消失了。但是在一个有两个相等方根的平方方程式中，未知的方根含有一次
方冪，其所含之项的系数，就是那仅仅一个方根的两倍；这就有了一个方程
式，所求的规定便可由这个方程式找到。这种步骤必须看作是一个真正解析
头脑的天才的把握，反之，次切线和纵座标与纵横座标的所谓应当是无限小
的增量之间全然意断的比例，与上述步骤相比，便完全落后了。
① 上面的引句原为法文。——译者
① 平方的方程式，即二次方程式。黑格尔这里要强调这种方程式的几何性质。故用此不习见的名词，——译者
由上述方式所获得的最后的方程式，它使平方方程式第二项的系数与双
重方根或未知方根相等，这个方程式与用微分计算办法所找到的方程式是相
同的。假如对x2=ax…b=o 求微分便会有一个新方程式2x…a=o；或从x3…px…q=0
得到3x3…q=0。这里也可以说这样导出的方程式，其正确完全不是自明的。
在一有两个变量的方程式中，变量之所以不失其为未知数的这种特色，正因
为它们是可变的，如上面考察过的，其所发生的结果，只是一个比率；这是
由于已经指出过的很简单的理由，因为用乘方函数来代替方冪本身的地位，
方程式两项的值便会变化，至于在这样变了值的两项之间是否还有一个方程
式，这件事就本身说来，却仍然是未知的。
dy
dx
＝P 这个方程式不过表示P 是
一个比率，对
dy
dx
此外并没有赋予什么实在的意义。从这个比率=P，还是同样
不知道它与什么其他的比率相等；只有这个方程式，或说比例性，才对这个
比率给了一种价值或意义。——如前所说，这种意义，即被称为应用的那种
东西，是从别处，即从经验得来的，所以对于这里所谈的由求微分而导出的
那些方程式，必须从别处知道它们是否有相等的方根，以便知道所得到方程
式是否还正确。但是教科书中并没有明白注意到这种情况；当然这种情况是
被消除了的，因为一个带有未知方根的方程式被归结为零，使其直接=y，于
是求微分时，结果当然就只有
dy
dx
这一比率了。函数计算固然应该是和乘方西
数打交道，微分计算固然应该是和微分打交道，但是决不能由此得出结论，
说取了微分或乘方面数的大小，它们本身也应该只是其他大小的函数。在理
论的部分，只指示耍导出微分或说乘方函数，还并没有想到那些被教导要按
这样导出而处理的大小，本身也应该是其他大小的函数。
关于在求微分时省略常数，也还可只注意，取微分在这里意调着常数在
方根相等时，对于方根的规定是不相于的，因为那种规定由于方程式第二项
的系数便已经穷尽了。和前引的笛卡儿的例子一样，常数本身就是方根的平
方，所以方根从常数来规定，同样也可以从系数来规定，——因为常数也一
般和系数同样是方程式的方根的函数。在普通表远中，所谓常数只是用加号
（＋）减号（一）与其余各项联系，省略这个常数，只是依办法的单纯机械
作用而进行的，为了求出一个棕合表现的微分，便只对变量给与一个增长，
并从原来的表用减去由此而形成的表现。常数的意义及其省略，它们本身在
什么程度上是函数，依照这种规定，它们是有用或是没有用：这些都没有谈
到。
与常数的省略联系起来，关于求微分和求积分这两个名词，可以作类似
于以前对有限和无限的名词所作的说法，即它们的规定所包含的东西，倒是
名词所说的反面。求微分是指建立差分；但是通过求微分，一个方程式反而
降到较低的因次，①而省略常数，又是去掉了规定性的一个环节；如前所说，
假定变量的方根相等，那么，方根间的差分也就取消了。反之，求积分时，
却应该再加上常数；方程式固然因此而得到积分，但是这意谓着恢复了以前
取消过的方根的差分，而被假定相等的东西将再取微分。——普通的名词也
增添了对事物本质的含混朦胧，一切都是用次要的、甚至与主题风焉牛不相
及的观点来提出的，这种观点一部分是无限小的差分、增量以及诸如此类，
另一部分是一般已知的和寻出的函数之间的单纯差分，而并没有标明其特殊
的，即质的区别。
① 微分方程式的项，皆比1 小，故数的大小与其因次高低成反比例。——译者
另一个使用微分计算的主要部门，是力学；关于它的对象——运动——
的基本方程式所发生的不同的方冪函故，其意义已经附带提到过；在这里，
我愿意直接从这些意义谈起。简单匀速的数学表示，即c=
s
t
或s=ct 方程式，
其中所经过的空间依一个经验的单位C，即速度的大小，与所经历的时间成
正比例，这个方程式对于求微分，并没有提供什么意义；系数c 是完全规定
了的，已知的，不能再有更多的方冪展开。——如何解析落体运动方程式
S=at2，在这以前也已经提到过；——
ds
dt
=2at，解析的首项、假如翻译为语
言并连带地移植为存在物，那就是：一个总和（这个概念，我们久已去掉了）
的项应该是运动的一部分，并且这一部分应该这样地加到惯性力（即简单匀
速运动）里去，那就是：运动在无限小的时间部分中是匀速的，但在有限的、
即事实上存在着的时间部分中，是不匀速的。当然，fs=2at，井且a 和t，
的本身意义，都是已知的，这样也就一同建立了运动匀速的规定；既然a＝
s
t 2 ，于是2at=
2s
t
就是普遍的：但是人们丝毫不因此而多知道什么。只是错
误的假定，即2at 是作为一个总和的运动的一部分，给予了一个像是物理命
题的错误假象而已。a 这个因数本身，是一个经验的单位，是一个定量本身，
它须耍归到重力上去；假如要用重力这一范畴，那倒不如说s=at2 这一整体
是结果，或更确切地说，是重力的法则。——从
ds
dt
=2at 导出的命题也是一
样，这命题说：假如重力停止发生影响，那么，物体便将以堕落终止时所达
到的速度，在相等于堕落所费的时间内，通过它所曾经过的空间的两倍。—
—这里包含着一个本身很歪曲的形而上学；堕落的终止，或说物体堕落所终
止的时间部分，它本身总之还是一个时间部分；假如它不是时间部分，那就
是假定了静止，从而也就没有速度；速度的提出，只能按照在一定时间内，
而不是在时间的终止部分所经过的时间。假如现在毕竟要把微分计算应用于
完全没有运动的物理部门，例如光的情况（除了它在空间中的所谓传播之外）
和颜色的量的规定，而将这里一个平方函数的第一导数也叫做速度，那么，
这就必须认为是冒充存在物更要不得的形式主义。
拉格朗日说，我们在物体堕落的经验中找到s=at2，方程式所表示的运
动。在这个运动之后，最简单的运动将是其方程式为s…ct3 的运动，但是自
然界并没有表现过这类的运动；我们还不知道c 这个系数能意谓什么。对系
数c 说，虽然是如此；反之，却有一个运动，其方程式是s3=at2；这就是太阳
系天体运动的克卜勒规律；——这里第一个导出的函数
2
3 2
at
s
等等应该意谓着
什么，以后用直接求微分来处理这个方程式，从这个出发点来解释那种绝对
运动的规律和规定：这些就恰恰相反，一定显得是很有兴趣的课题，解析在
这种课题中会露出最可贵的光彩。
所以微分计算对运动基本方程式的应用，就本身主，并没有提供什么实
在的兴趣：至于形式的兴趣，那却是从针算的一般机械作用来的。但是就运
动轨道的规定的关系来解析运动，这却包含另一种意义；假如这是一条曲线，
并且它的方程式也包含了较高的方冪，那么，这就需要从作为乘方函数的直
线函数到方冪本身的过渡；由于获得那些直线函数，须从原来包含时时因数
的运动方程式去掉时间，所以这个因数也须同时降到较低的展开函数，从这
些展开函数，可以得到直线规定的方程式。这个方面引起对微分计算另一部
分的兴趣。
以上所说的目的，在于强稠并明确微分计算简单的特殊规定，用一些粗
浅的例子来说明这种规定。这种规定之所以产生，在于：从一个方幂函数的
方程式，求出展开项的系数，所谓第一导数；这个函数是一个比率，它在具
体对象的诸环节中得到证明；如此由这个函数得来的方程式，便在那两个比
率之间规定了这些环节本身。
同样也须要简短考察一下积分计算原理以及这原理应用于积分计算特殊
具体规定所发生的东西。这种计算的观点之所以已经简化并得到更正确的规
定，因为它已不再被认为像与求微分对立时被称为累加法（Sumrnations
Methode）那样，在那时，增长还被当作是重要的成分，从而计算还好像与系
列的形式有本质的联系。——这种计算的任务，起初也和微分针算的任务一
样，是理论的，或者不如说是形式的；但是大家也都知道，它正是微分计算
的反而；——这里是从一个函数出发，这个函数被认为是导数，并且是从一
个还未知的方程式的展开而产生的次一项的系数，从这个导数应该找出原来
的方冪函数；在展开的自然序列中必须被看作是原来的函数的，这里却是导
出来的；而以前被认为是导出的函数的，这里却是已给与的，或一般开始的
函数。但是这种运算的形式部分，似乎已经由微分计算实现了，因为一般由
原来的函数到展开的函数的过渡及其间的比率，在那里已经确定了。假如一
方面为了应用我们必须从那里出发的函数，另一方面又为了实现从这个函数
到原来函数的过渡，在许多情况下，都必须采用系列形式作避难所，那么，
首先便必须坚持这种形式本身与求积分的特殊原则并不直接相干。
但是这种计算的另一部分任务，就形式运算的关系看来，现在就是这种
运算的应用。现在这种应用本身就是任务，即是要认识 上面所指出的意义，
一个特殊对象的已知的、被认为第一导数的原来函数所具有的意义。这种理
论本来似乎也可以在微分计算中完全了结的；但是出现了另外一种情况，使
得事情不这样简单。因为在这种计算中，发生了这样的事，即是由一个曲线
方程式的第一导数得到一个是直线的比率，所以从而就知道求这个比率的积
分，也便有了在纵横座标的比率中的曲线方程式；或者说，假如有了一个关
于曲线平面的方程式，那么，微分计算便应该已经告诉人们关于这样方程式
的第一导数的意义，即这种函数表示纵座标为横座标的函数，于是也就表示
了曲线方程式。
但是现在问题所在，是；对象的规定环节哪一个本身在方程式中是已知
的，因为解析处理只能以已知的作出发点，并从那里过渡到对象其余的规定。
例如已知的，既不足曲线的一个平面空间的方程式，也不是由曲线旋转而发
生的某种立体，也不是曲线的一段弧，而只是在曲线本身的方程式中的纵横
座标的比率。因此，从那些规定到这�