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生的某种立体，也不是曲线的一段弧，而只是在曲线本身的方程式中的纵横
座标的比率。因此，从那些规定到这个方程式本身的过渡，是不能够在微分
计算中已经得到处理的；求出这些比率是要留给积分计算来做的。
但是从前又曾经指出过的，有较多变量的方程式，求它的微分，所给予
的展开方冪或微分系数，不是作为一个方程式，而是作为一个比率；于是任
务就是要为这个是导出函数的比率，在对象的环节中，指出与它相等的第二
个比率。另一方面，积分计算的对象，是原来的函数对导出的（这里应该是
已知的）函数的比率本身，并且任务是在已知的第一导数的对象中，指出那
种须要去求得的原来函数的意义；或者不如说，由于这种意义（例如一条曲
线的平面，或要使其变直的、被想像为直线的曲线等），已经被宣布为间题，
任务就是要指出这样的规定将由原来的函数找到，并且指出什么是对象环
节，什么就在这里必须被当作是（导出）函数的开始函数。
把差分观念当作无限小的观念来使用的那种普通方法，现在却把事情弄
的很容易；对于求曲线的平方，它就把一个无限小的长方形，即纵座标和横
座标的原素（即无限小）的乘积当作不等边的四边形，这个不等边的四边形
以对着横座标无限小部分的那个无限小的弧为它的一边：于是乘积便在以下
的意义有了积分，即积分给予了无限多的不等边四边形的总和，即平面，而
这个平面所需要的规定，就是它的那种原素的有限的大小。同样，这个平面，
由弧的无限小以及属于此种无限小的纵横座标，形成了一个直角三角形，在
这个三角形中，那个弧的平方须等于其他两个无限小的平方之和，求后两者
的积分所得的弧，是被当作一个有限的弧的。
这种办法，以那种一般发现为前提，那种发现为解析的这一部门奠定了
基础，它在这里的方式，就是：成了平方的曲线，变直了的弧等等，对曲线
方程式所给予的某一函数，有着所谓原来函数对导出函数那样的比率。因此
现在所要知道的，是：假如一个数学对象（例如一条曲线）的某一部分被认
为是导出的函数，那么，它的哪一另外的部分是由相应的原来函数来表示呢？
人们知道，假如由曲线方程式给予的纵座标函数被认为是导出的函数，那么，
相对的原来函数就是这个纵座标所切的曲线面积大小的表现；假如某一切线
规定被认为是导出的函数，那么，它的原来函数就表现为属于这个切线规定
的弧之大小等等；现在这些比率构成一个比例，它们一个是原来函数对导出
函数的比率，另一个是数学对象两个部分或两种情况的大小比率；但是使用
无限小并以它作机械运算的那种方法，却省掉了对这一点的认识和证明。它
特殊的聪明功绩，是从别处已经知道了的结果里，找出一个数学对象的某些
和哪些方面，与原来函数和导出函数有比率。
在这两个函数中，导出的函数（或说它既是已被规定的，那就是乘方的
函数），它在这里的计算中，相对于原来函数而言，是已知的，而原来函数
却应该通过求积分，从那个导出的山数找出来。但是这个导出的函数既不直
接是已知的，而数学对象的哪一部分或规定，应孩被看作是导出的函数，以
便把它还原为原来的导数，求出对象的另一部分或规定（它的大小就是问题
所要求的），这个部分或大小，本身也不是已知的。普通的方法，如已经验
过的，是立刻以导出函数的形式，把对象的某些部分想像为无限小；这些部
分，一般可以从对象原来已经给予的方程式，通过求微分而规定（——正如
无限小的纵横座标是为了使一条曲线变直）。这种方法为此便采用这样的部
分，它们可以与同样被设想为无限小的问题对象（这在前一例中，就是弧）
有联系，这种联系是初步数学中已经确定的；因此，假如这些部分是已知的，
那么，问题所要求得的那一部分的大小，也就被规定了；所以为了求曲线的
长，上述的三种无限小便与直角三角形的方程式速系起来；为了求曲线的平
方，纵座标和无限小的横座标便联系在一个乘积之中，因为平面在算术上，
一般被认为是直线的乘积。于是从平面。弧等等这样的所谓原素到平面、弧
等等的大小之过渡，其本身只被当作是从无限多的原素的无限表达过渡到有
限表现，或说是它们的总和；所求的大小，应该是山这些无限多的原素构成
的。
因此，说积分计算单纯是微分坟算倒倒过来的、但一般较为困难的问题，
只能是肤浅的说法；积分计算的真实兴趣，倒不如说是唯在于具体对象中原
来函数和导出函数的相互比率。
拉格朗日既不用那些直接假定的便易方式来免除任何问题的困难，也不
同意在这一针算部门那样做。用少许几个例子，来指出他的办法的细节，这
同样有助于说明事物的本性，他的办法正是以这一点为自己的任务，即，要
本身证明庄一个数学整体（例如一条曲线）的特殊规定之间，有着原来西数
与导出函数的比率。但是，由于这种经率的本性，这一点在这个范围内，是
不能用直接的方式来完成的；因为在数学对象中，这个比率把曲线和直线，
把直糙的因次及其函数和平面的因次及其函数等不同质的东西联系起来了；
所以其规定只可以看作是一较大和一较小的东西之间的中项。这里当然又出
现了带着加减号（p1us uiid minus）的增长形式，而那个活泼有力的“展开”
（Deve1oppons）也就在它的位置。上了；但是正如以前所说，这里的增长只
有算术的、有限的意义。须要规定的大小，它比一个易于规定的极限大些，
比另一极限又小些，假如展开这种条件，便将引导出这样的事：例如纵座标
的函数，对面积的函数而言，就是导出的第一函数。
拉格朗日对求曲线的长的说明，山于他从亚基米德原理出发，其饶有兴
趣之处在于理解亚基米德方法之翻译为近代解析原理，这使我们对于用另一
种方法去机械地搞的事业，可以洞见其内在的、真正的意义。这种办法的方
式与方才所举的办法①，必然类似；亚基米德原理并没有给予直接的方程式，
这个原理是说一条曲线的弧比包的弦我大，比在弧的终点反其交点间所做的
两条切线之和较小。那种亚基米德的基本规定翻译成近代解析形式，就是发
明一种表现法，其本身是一个简单的基本方程式，而那种亚基米德的形式却
只是提出要求，要在每时每刻本身都是规定了的一个太大者和一个太小者之
间无限进展，这种进展永远总是又有一个新的太大者和一个新的太小者，但
它们的界限总是愈来愈紧密地接近。借助于无限小的形式主义，立刻便立下
了dz2=dx2＋dy2 这一方程式。拉格朗日的解歌，由上述基础出发，却相反地
指出弧的大小，对一个导出的函数说来，是原来的函数，其特殊之项，本身
就是一个函数，这个函数是由一个导出函数与纵座标的原来函数的比率构成
的。
因为在亚基米德的办法中，也像以后在克卜勒立体几何学对象的讨论中
那样，都出现了无限小的观念，所以这一点常常被当作权威来引用，在微分
计中便使用了这个观念，而不去强调特殊的和有区别的东西。无限小首先意
谓着这样的定量的否定，即所谓有限表现或完成了的规定性之否定，这样的
规定性即是定量本身。同样，在后继的伐勒里烏斯①、卡伐列里②等人的著名
方法中，都是以对几何对象的比率之考察为基础，各种规定也首先是只从比
率方面来考虑，因此之故，那些规定的定量本身这一基本规定被放在一边，
从而那些规定就认为应该是非大小的东西。但是一方面在这里并没有认识和
注意到潜藏在单纯否定规定后面的一般肯定的东西，这在前面曾抽象地表明
为质的量规定性，而这种规定性在方冪比率中便更加确定；一一另一方面，
因为这种几率自身叉包括一定数量的更确定的比率如方静的比率及方幕的展
开函数等，所以它们又应该以那个无限小的一般的和否定的规定为基础，从
那里引导出来。在方才举出的拉格朗日的解说中，找到了包含在亚基米德阐
明问题的方式中的那种确定的肯定方面，因此对于那种受无界限的超越之累
的办法，也就给了一个正确的界限。近代发明的本身伟大处，和它解决以前
无法瘢S的问圈，以及用简单方式处理以前可解决的问题的能力，这些都完
全是由于发现了原来的和所谓导出的事物间的比率，以及发现一个数学整体
中具有这种比率的那些部分。
① 即规定所要求的大小，是在一较大者和一较小者之中。——译者
① 伐勒里鳥斯（ValertusI； Lucas），1618 年死于罗马，伽利略称他为当时的亚基米德，著有《从简单的错
误论求抛物线平面法》。——原编者注
② 卡伐列里（Cavalieri，BonaventuraFrancesco，1598…1647），意大利的数学家，著有《几何学》《几何习
题》等书。——译者
大小比率的特殊方面，是现在所谈论的特种计算的对象，对于须要强调
这一点的目的，以上引证大概可以满足了。这些引证曾经能够限于简单的问
题及其解决方式；要着手检察微积分计算所谓应用的全部范围，并且以所发
现的原理为应用的基础，将一切应用的问题及其解决都还原到原理那里来完
成归纳：这对于此处唯一有关的概念规定既不适宜，也非著者能力所及。但
是以上的论述，也足够指出每一特殊的计算方式，都以大小的一种特殊的规
定性或比率为对象，而这样的比率便构成了加、乘、乘方、开方根、计算对
数、系列等等，和这一样，微积分计算也是如此；就属于这种计算的东西而
言，方冪函数及其展开或乘方的函数的比率这个名词，或许是最合适的，因
为这个名词对事物的本性含有最确切的见解。不过，既然依据其他大小比率
的运算如加法等，一般都在这种计算中使用，于是对数、圆、系列等比率也
同样应用了，这特别是为了使那些从展开函数导出原来因数所必须的运算有
更加可以瘢S的表达。微积分计算固然共同具有较确切的兴趣，要用系列形
式来规定展开的函数，这些函数在系列中叫做各项的系数；但是因为这种 计
算的兴趣仅仅涉及原来函数和它的展开的最近的系数，于是系列便想要依照
具有那些系数的方冪而排列的众多的项，表现为一个总和。在无限系列中出
现的无限物，就是一般定量的否定物的不确定的表现，它与包含在这种计算
的无限物中的肯定规定，毫无共同之处。同样，无限小作为增长，展开借助
于它才变为系列的形式，它对于展开，只是一种外在的手段；而它的所谓无
限性，除了作为那种手段的意义而外，并没有任何其他的意义：因为所要求
的东西，事实上并不是系列，所以系列引出的东西太多，要费多余的努力再
把它去掉。拉格朗日虽然由于他的方法，在所谓应用中突出了真正的特殊性，
因为它无须将dx，dy 等强加于对象，直接指出了属于对象的导出（展开的）
函数规定的那一部分，从而表现出系列形式与此处所讨论的问题无关；但他
却又喜欢采用系列的形式，所以他的方法也就同样遭到上述的麻烦。①
① 在以前所引的批评中（《科学评论年鉴》第二卷，1827 年，第155—156 号以下），有一个精通本业的
学者史泊尔先生*的很有趣的说法，这是从他的《流量计算的新原理》（布朗施栓格，1826 年）引来的，
这些说法涉及一种情况，微分计算的晦涩而不科学，主要须水溯因于它，这也很符合于我们以前关于这种
计算的理论的一般情况所说的。他说：“纯算术的研究当然比一切类似的研究，都更与微分计算有关，人
们不曾将它与真正的微分计算分开，甚至像拉格朗日那样，把它认为是事物本身，而人们却把这种研究仅
仅看作是微分计算的应用，这种算术研究包括求微分的规则，泰勒定理的导数等，甚至各种求积分的方法
也在内，情况完全相反，那些应用才正是构成真正微分计算的对象，从解析出发的微分计算是以一切那些
算术的展开和运算为前提。”——我们曾经指出，在拉格朗日那里，将所谓应用与从系列出发的那种一般
部分的办法分开，怎样恰恰提供了突出微分计算本身特性之用。上述的那位著老说，正是所谓应用构成真
正微分计算的对象，但是可惊异的，是他有了这种镁有兴趣的见解，怎样会让自己进入（见上引的书）那
种连续大小、变、流动等等形式的形而上学，想在那些废物之上再添上斩的废物：那些规定之所以是形式
的，因为它们只圣是一般的范畴，没有举出事物的特点，而事物却是要从具体学说，从应用去认识和加以
抽象的。——黑格尔原注*史泊尔（Speht，Friedrich Wilhelm，1799—1833），布朗施维格的数学家，著有
《纯组全论的讲义大全》。——原编者注
注释三 其他与质的大小规定性有关的形式
微分计算的无限小，就它的肯定意义说，就是质的大小规定性，对于这
种规定性，我们曾较详细地指出它在这种计算中，不仅出现为一般的方冪规
定性，而且是一方冪函数与展开方冪的比率那种特殊的方冪规定性。但是这
种质的规定性所呈现的形式，还更为广泛，也可以说更为微弱；这种形式以
及与此有关的无限小的使用和无限小在这种使用中的意义，还应该在这个注
释中加以考察。
因为我们从以上所说的出发，在这方面便须首先记住，从解析方面看来，
各种方冪规定之所以出现为仅仅是形式的，并且完全是同质的，那是因为它
们意谓着数的大小，本身没有彼此间质的不同。但是解析的比率应用于空间
对象时，就完全显出了它的质的规定性，那就是从线到面、从直线到曲线等
等规定的过渡。这种应用自身又带来这样的事情，即：空固的对象，就其本
性说，是以连续大小的形式给予的，现在却要用分立的方式来把握它。所以
面就是一定数量的线，线就是一定数量的点等等。这种解决唯一有兴趣之点，
在于它本身规定了线分解为点，面分解为线等等，以便从这种规定出发，能
够以解析的方式进展，真正税来，即是以算术的方式进展；对于须要找出来
的大小规定而言，这些出发点就是原素；具体物（即连续大小）的函数和方
程式应当从那些原素导引出来。对使用这种办法显得极有兴趣的问题，要求
在这些原素中有一个自为地规定的东西作出发点；这与那种间接过程相反，
因为那种过程只能相反地以极限开始：那个自为地规定的东西就处在极限之
间，是那种过程所趋向的目标。纵使可以找到的，只是继续向前规定的规律，
而不能够达到所要求的完全的规定、即所谓有限的规定，然而两种方法所得
的结果是一样的。第一个想到那种倒转过来的过程，而将分立的东西作为出
发点，这项荣誉应归于克卜勒。当他说明他对亚基米德测量圆的第一定理如
何了解时，他以很简单的方式表达了这一点。亚基米德的这第一定理是大家
都知道的，那就是：假如一个直角三角形的勾等于一个圆的半经，股等于圆
的圆周，那么这个圆便等于这个直角三角形。因为克卜勒把这一定理的意义
当作是圆周所有的部分和它所有的点同样多，即无限多，而每一部分都可以
看作是一个等腰三角形的底线等等，所以他就把连续物的分解表现，一分立
物的形式。这里出现的无限这一名词，与它在微分计算中应该有的规定，还
离得很远。——假如现在为这些分立物已痤找到了一种规定性或函数，那么，
以后还又应该把它们总括起来，本质上作为连续物的原素。但是既然点的总
和不能给予线，线的总和不能给予面，那么，这就是点立刻已经被认为有线
的性质，线也有面的性质了。但是那些有线的性质的东西还不就是线（假如
它们被当作定量，那就会是线了），所以它们被想像为无限小。分立物只能
够是一个外在的总括，在总括中的环节，保持着分立的一的意味；从这些一
所出现的解析的过渡，只是到它们的总和，同时，这种过渡并不是由点到线
或由线到面等几何的过渡：所以对于那些以点或线为其规定的原素，同时也
就给予了（对以点为规定的原素）以线或（对以线为规定的原素）以面的性
质，从而像是由细小的线的总和便成了一条线，由细小的面的总和便成了一
个面。
需要取得质的过渡这一环节并为此而以无限小作避难所，这一点必须看
作是一切想要消除上述困难而本身却成了最大困难的观念的来源。要避免这
种救急的应付，那就必须能够指出似乎是单纯加法的解析法，事实上本身已
经含有乘法。但是在这方面，又出现了一个新的假定，它构成把算术比率应
用于几何形状的基础：那就是算术的乘法对于几何规定，也是一种到较高因
次的过渡，——一些大小，按照其空间的规定而言，是线；它们算术的乘法，
同时就是线成了面的规定那样一个乘积；3 乘4（直线的）尺，是12（直线
的）尺，但3（直线的）尺乘4（直线的）尺却是12（平面的）尺，而且当
然是平方尺，因为两者既是作为分立的大小，共单位是同一的。直线与直线
相乘，起初显得似乎有些荒谬，因为乘法只涉及数，是数的变化，这些数与
其由过渡而成的东西，或说乘积，是完全同质的，不过大小变化了而已。另
一方面，所谓线本身与线之相乘——这被称为积诸线为线（ductus lineae in
lineam），就像积诸面为面（plani in planum）那样，积诸点为线（ductus
punctiin lineam）也是如此——这不单纯是大小的变化，而是线作为空间的
性质的规定性、作